福建省泉州市石狮市2025届高三适应性调研考试数学试题含解析

这是一份福建省泉州市石狮市2025届高三适应性调研考试数学试题含解析，共58页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔等内容，欢迎下载使用。
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2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( )
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
2．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且，则( )
A．9B．5C．2或9D．1或5
4．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．设集合、是全集的两个子集，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下图为一个正四面体的侧面展开图，为的中点，则在原正四面体中，直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
12．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是B．是奇函数
C．是周期函数D．是增函数
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量与向量垂直，则______.
14．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____.
15．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.
16．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知，函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：，直线的参数方程为（为参数）.直线与曲线交于，两点．
（I）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程（不要求具体过程）；
（II）设，若，，成等比数列，求的值．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.
20．（12分）已知数列，，数列满足，n．
（1）若，，求数列的前2n项和；
（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．
①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；
②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．
21．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分统计结果如表所示：.
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式：，若，则，，
22．（10分）已知等差数列中，，数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论.
【详解】
由图可知，，
又，，
又，，，
为了得到这个函数的图象，
只需将的图象上的所有向左平移个长度单位，
得到的图象，
再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可.
故选:A
本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.
2．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
3．B
【解析】
根据渐近线方程求得，再利用双曲线定义即可求得.
【详解】
由于，所以，
又且，
故选：B.
本题考查由渐近线方程求双曲线方程，涉及双曲线的定义，属基础题.
4．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
5．C
【解析】
作出韦恩图，数形结合，即可得出结论.
【详解】
如图所示，，
同时.
故选:C.
本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.
6．C
【解析】
恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.
【详解】
由题意知函数的定义域为，
.
因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.
令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.
故选：C
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.
7．B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
8．C
【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，三点重合，记作，取中点，连接，即为与直线所成的角，表示出三角形的三条边长，用余弦定理即可求得.
【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中三点重合，记作：
则为中点，取中点，连接，设正四面体的棱长均为，
由中位线定理可得且，
所以即为与直线所成的角，
，
由余弦定理可得
，
所以直线与直线所成角的余弦值为，
故选：C.
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.
9．D
【解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．
【详解】
当时，．
所以数列从第2项起为等差数列，，
所以，，．
，，
．
故选：．
本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
10．C
【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
.
故选：C
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
11．D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
12．C
【解析】
根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】
由表示不超过的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数，故错误；
选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0
【解析】
直接根据向量垂直计算得到答案.
【详解】
向量与向量垂直，则，故.
故答案为：.
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
14．
【解析】
先推导出函数的周期为，可得出，代值计算，即可求出实数的值.
【详解】
由于函数是定义在上的奇函数，则，
又该函数的图象关于直线对称，则，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
所以，解得.
故答案为：.
本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
15．
【解析】
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．
【详解】
解：设点，，其中，
，
由，，，
可设
，
导数为，
由，可得
，
可得或，
由
，，
可得，即，可得，
由可得函数递减；由，可得函数递增，
可得时，函数取得最小值，且为，
则的最小值为1．
故答案为：1．
本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．
16．
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可得出函数的单调递增区间；
（2）由得出，并求出的值，利用两角差的正弦公式可求出的值.
【详解】
（1）当时，
，
由，得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2），，
，，，，
．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题．
18．（I），；（II）.
【解析】
（I）利用所给的极坐标方程和参数方程，直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程；（II）联立直线的参数方程和C的直角坐标方程，结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.
【详解】
（I）曲线：，两边同时乘以
可得，化简得）；
直线的参数方程为（为参数），可得
x-y=-1，得x-y+1=0；
（II）将（为参数）代入并整理得
韦达定理：
由题意得 即
可得
即
解得
本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化，以及参数方程的综合知识，结合等比数列，熟练运用知识，属于较易题.
19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；
（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；
【详解】
解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，
则，从而
因为平面平面，平面平面
所以平面，
又因为平面，
所以，
因为，，平面，平面，所以平面；
（Ⅱ） 解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则
设平面的法向量为，则
，即，
令，则
又平面的一个法向量，则
从而，故
则直线与平面所成的角为，大小为.
本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
20．（1）（2）①见解析②数列不能为等比数列，见解析
【解析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；
（2）①设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，得出；当n为偶数时，得出，从而可证数列，的公差相等；
②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．
【详解】
（1）因为，，所以，且，
由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列是首项和公比均为4的等比数列，
所以；
（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，
当n为奇数时，，
若，则当时，，
即，与题意不符，所以，
当n为偶数时，，，
若，则当时，，
即，与题意不符，所以，
综上，，原命题得证；
②假设可以为等比数列，设公比为q，
因为，所以，所以，，
因为当时，
，
所以当n为偶数，且时，，
即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，
所以数列不能为等比数列．
本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
21．（1）（2）详见解析
【解析】
由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解.
由题意得，获赠话费的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列求期望.
【详解】
由题意得
综上，
由题意得，获赠话费的可能取值为
，
，
的分布列为：
本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22．（1），；（2）.
【解析】
（1）由条件得出方程组 ，可求得的通项，当时，，可得，当时，，得出是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得的通项；
（2）由（1）可知，，分n为偶数和n为奇数分别求得.
【详解】
（1）由条件知， ，，
当时，，即，
当时，，
是以1为首项，2为公比的等比数列， ；
（2）由（1）可知，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上，
本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n项和，注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.
组别
频数
赠送话费的金额(单位：元)
概率