重庆市南开中学2026届高三5月质检（九）数学试卷含解析（word版）

这是一份重庆市南开中学2026届高三5月质检（九）数学试卷含解析（word版），共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. B 【解析】集合 A=(−∞,3],B=0,+∞ ,则 A∩B=(0,3] ,选B.
2. C 【解析】 z=4i1−i=4i1+i1−i1+i=−2+2i ,选 C.
3. D 【解析】 a7−a1=6d=28−4=24 ,则 d=4 ,所以 a3=a1+2d=4+8=12 ,选D.
4. A 【解析】在 △ABC 中由余弦定理得: a2=b2+c2−2bccsA⇒49=25+c2+10c⇒c=3 ,则 c=3 ,选 A.
5. B 【解析】由题意:函数 fx 关于 x=1 对称,且在 1,+∞ 上单调递增,则 t+1−1≥2t−1−1 1,得 t∈23,2 ,选B.
6. D 【解析】原式展开化简得 3tanαtanβ+tanα+tanβ=3 ,则 tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ= 3−3tanαtanβ1−tanαtanβ=3 ,又 α,β 是锐角,则 α+β=π3 ,选D.
7. C 【解析】 △PQF1 周长 =QF1+PQ+PF1=QF1+PQ+PF2+2a≥QF1+QF2+2a=2QF2+2a=12 ( P,Q,F2 三点共线时取等),由 a=1 ,得 QF2=5 ,又在 Rt△QOF2 中, 16+c2=25 ,得 c=3 ,所以 b =22 ,选C.

8. B 【解析】点 A 在底面的射影点为 M ,有 AM⊥ 面 CDM ,则 CM=r12+r22= 5 ,且 ∠ACM=π4 ,则 AM=5 ,即圆台的高为 ℎ=5 ,则圆台的母线长 l =r1−r22+ℎ2=6 ,则侧面积 S=122πr1+2πr2l=36π ,选B.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. BCD 【解析】对于 A 选项,因为 f0=1 ,所以 A 错误.
对于 B 选项, f−x=1−x21+x2=fx 成立,所以 B 正确.
对于 C 选项, f1x=1−1x21+1x2=x2−1x2+1=−fx ,所以 C 正确.
对于 D 选项,因为 fx=−1+2x2+1 ,故该函数在 0,+∞ 单调递减,又由 A 知该函数为偶函数,且 x2+1≥2x ,结合函数图象可知 f1+x2≤f2x ,所以 D 正确.
故选 BCD.

10. AC 【解析】对于 A 选项,由题可得 ∠DF1O=π4 ,所以直线 MN 的倾斜角为 π4 或 3π4 ，斜率 k=±1 ；所以 A 正确.
对于 B 选项,在 Rt△ODF1 中, DO=DF1=1,F1O=2 ,所以 b =1,c=2,a=3 ,所以离心率 e=63 ; 所以 B 错误.
对于 C 选项,设直线 MN:y=±x−2 ,联立椭圆得: 4x2−62x+3=0 ,所以 MN= 2xM−xN=2⋅62=3 ,所以 C 正确;
对于 D 选项, S△OMN=12MN⋅1=32 ,所以 D 错误.
故选 AC.
11. ABD 【解析】由题知 gx=cs2x+φ=cs2x+2φ ,
对于 A 选项, gx=cs2x+π2=−sin2x ,所以 A 正确.
对于 B 选项,将 x0=kπ2−φk∈Z 代入,则 2x0+2φ=2kπ2−φ+2φ=kπ 是余弦函数的对称轴, 所以 B 正确.
对于 C 选项, fx⋅gx=cs2x⋅cs2x+2φ=12cs2φ+cs4x+2φ ,所以最小正周期为 T=2π4=π2 ,所以 C 错误.
对于 D 选项, fx+gx=cs2x+cs2x+2φ=2cs2x+φcsφ ,所以该函数的最大值为 2csφ=1 ,解得 φ=π3 ,所以 D 正确.
故选 ABD.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. −132
【解析】 b+2a=5,x+4 ,所以 5+2x+8=0 ,解得 x=−132 .
13. 1027，45
【解析】四局比赛结束共有两种情况,所以 PA=C32232×13×23+C32132×23×13=1027 ,而 PAB=C32232×13×23=2481=827,∴PB∣A=PABPA=8271027=45 .
14.985
【解析】由题意,暗码 8 坐标为 1,2 即 x+y=12y−1=2,∴x+y=42y−1=5⇒x=1y=3,此坐标原码为9
暗码 3 坐标为 3,3 即 x+y=32y−1=3,∴x+y=32y−1=3⇒x=1y=2,此坐标原码为8
暗码 9 坐标是题中示例，对应原码为 5，所以原码为 985.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
解: (1) 由题得: an≠0 ,则 1an+1=an+24an=12an+14 ,整理得 1an+1−12=121an−12 , (3 分)
又 a1=1 ,得 1a1−12=12≠0 , (4 分)
所以 1an−12 是以 12 为首项, 12 为公比的等比数列. (5 分)
(2)由(1)得 1an−12=1212n−1=12n ，所以 1an=12+12nn∈N∘ ， (6 分)
又 Sn=1a1+1a2+⋯+1an=n2+1−12n