福建省三明市永安市2024-2025学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份福建省三明市永安市2024-2025学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，文件包含东北育才学校2025-2026学年高三下学期临考提升卷语文pdf、东北育才学校2025-2026学年高三下学期临考提升卷语文答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．120种
2．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知斜率为的直线与双曲线交于两点，若为线段中点且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
5．已知向量，（其中为实数），则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知复数，则的虚部为（ ）
A．－1B．C．1D．
7．欧拉公式为,(虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )
A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大
B．这五年，2015年出口额最少
C．这五年，2019年进口增速最快
D．这五年，出口增速前四年逐年下降
9．已知命题：，，则为( )
A．，B．，
C．，D．，
10．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
12．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______．
14．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答）
15．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
16．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线与抛物线交于两点.
（1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率；
（2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程.
18．（12分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：
（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；
（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.
（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？
附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，
参考数据：.
19．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，，是棱中点.
（1）已知点在棱上，且平面平面，试确定点的位置并说明理由；
（2）设点是线段上的动点，当点在何处时，直线与平面所成角最大？并求最大角的正弦值.
20．（12分）已知数列满足,，数列满足.
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
21．（12分）已知函数.
（1）讨论的零点个数；
（2）证明：当时，.
22．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
设的平分线与边交于点，已知，，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.
【详解】
当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.
故选：B
本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
2．C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
3．D
【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故选：D.
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
4．B
【解析】
设，代入双曲线方程相减可得到直线的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求出离心率．
【详解】
，
设，则，
两式相减得，
∴，．
故选：B．
本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．
5．A
【解析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.
【详解】
由，则，所以；而
当，则，解得或.所以
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.
6．A
【解析】
分子分母同乘分母的共轭复数即可.
【详解】
，故的虚部为.
故选：A.
本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.
7．A
【解析】
计算，得到答案.
【详解】
根据题意，故，表示的复数在第一象限.
故选：.
本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.
8．D
【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.
【详解】
对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；
对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；
对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；
对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；
故选：D
本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.
9．C
【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.
【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，
.
故选：.
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
10．A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
11．D
【解析】
设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；
【详解】
解：设，，由，得，
∵，解得或，∴，.
又由，得，∴或，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴代入解得.
故选：D
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.
12．B
【解析】
先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解.
【详解】
第1次传播，谣言一定不会回到最初的人；
从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是，
没有被选中的概率是．
次传播是相互独立的，故为
故答案为：
本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题.
14．1
【解析】
由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解．
【详解】
①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，
②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9，
③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5，
综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1，
故答案为：1．
本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题．
15．①③④
【解析】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；
对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；
对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，
平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，
所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.
故答案为：①③④.

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
16．
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果.
【详解】
先做的区域如图可知在三角形ABC区域内，
由得可知，直线的截距最大时，取得最小值，
此时直线为，
作出直线，交于A点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点，
由，得，代入，得，
所以点C的坐标为．
等价于点与原点连线的斜率，
所以当点为点C时，取得最小值，最小值为，
故答案为：.
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）设，根据直线的斜率公式即可求解；
（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解.
【详解】
（1）设，
因为
，
即直线的斜率为1.
（2）显然直线的斜率存在，
设直线的方程为.
联立方程组，
可得
则
，
令，则
则
当时，；
当且仅当，即时，解得时，取“=”号，
当时，；
当时，
综上所述，当时，取得最大值，
此时直线的方程是.
本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题.
18．（1）；（2）；（3）利润约为111.2万元.
【解析】
（1）首先列出基本事件，然后根据古典概型求出恰好两个月合格的概率；
（2）首先求出利润y和养殖量x的平均值，然后根据公式求出线性回归方程中的斜率和截距即可求出线性回归方程；
（3）根据线性回归方程代入9月份的数据即可求出9月利润.
【详解】
（1）2月到6月中，合格的月份为2，3，4月份，
则5个月份任意选取3个月份的基本事件有
，，，，，，
，，，，共计10个，
故恰好有两个月考核合格的概率为；
（2），，
，
，
故；
（3）当千只，
（十万元）（万元），
故9月份的利润约为111.2万元.
本题主要考查了古典概型，线性回归方程的求解和使用，属于基础题.
19．（1）为中点，理由见解析；（2）当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.
【解析】
(1)为中点,可利用中位线与平行四边形性质证明，，从而证明平面平面；
（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.
【详解】
（1）为中点，证明如下：
分别为中点，
又平面平面
平面
又，且四边形为平行四边形，
同理，平面，又
平面平面
（2）以A为原点，分别以，，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系
则，
设直线与平面所成角为，则
取平面的法向量为则
令，则
所以
当时，等号成立
即当点在线段靠近的三等分点时，直线与平面所成角最大，最大角的正弦值.
本题主要考查了平面与平面的平行，直线与平面所成角的求解，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
20．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列
（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前项和.
【详解】
解：（Ⅰ）当时，，故.
当时，，
则 ，
，
数列是首项为，公比为的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
，
.
（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法 得出
（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
21．（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明.
【详解】
解析：（1），，
当时，，单调递减，，，此时有1个零点；
当时，无零点；
当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值，
若，则，此时没有零点；
若，则，此时有1个零点；
若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点.
综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点.
（2）令，则，当时，；当时，，∴.
令，则，
当时，，当时，，∴，
∴，，∴，即.
本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.
22．；.
【解析】
利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出的值.
【详解】
解：，由正弦定理得：，
，
，
，
，
又，为三角形内角，故，，
则，故，；
（2）平分，设，则,,
，，则，
，又，
则
在中，由正弦定理：，.
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
月养殖量/千只3
3
4
5
6
7
9
10
12
月利润/十万元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1
生猪死亡数/只
29
37
49
53
77
98
126
145