2025届河南省周口市西华县高考考前模拟数学试题含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（ ）
A．若是等差数列，则一定有B．若是等比数列，则一定有
C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有
3．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．M、N是曲线y=πsinx与曲线y=πcsx的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )
A．πB．πC．πD．2π
6．若变量，满足，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．10
7． “”是“函数（为常数）为幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
8．已知函数，其中，若恒成立，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
9．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
10．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．120种
11．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.
14．已知，满足约束条件则的最大值为__________.
15．已知实数x，y满足，则的最大值为____________.
16．已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为：
其中，
（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元）
（ⅰ）求的分布列；
（ⅱ）若，求的数学期望的最大值.
18．（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为．
（1）求矩阵；
（2）求矩阵的特征值．
19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.
（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；
（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．
21．（12分）已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。
22．（10分）如图，在平面四边形中，，，.
（1）求；
（2）求四边形面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
【详解】
由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设.则.
故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
故选：C
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．C
【解析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.
【详解】
A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；
C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；
D：当 时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.
故选：C
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.
3．C
【解析】
方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.
方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.
【详解】
方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，
则，所以，又
所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，
所以，所以．
方法二：抛物线的准线方程为，直线
由题意设两点横坐标分别为，
则由抛物线定义得
又 ①
②
由①②得.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
4．A
【解析】
根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．
【详解】
由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．
故选：A．
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．
5．C
【解析】
两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1=,x2=π,
|x1-x2|=π,
|y1-y2|=|πsinx1-πcsx2|
=π+π
=π,
∴|MN|==π.故选C.
6．D
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．
【详解】
解：画出满足条件的平面区域，如图示：
如图点坐标分别为，
目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故.
故选：D
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
7．A
【解析】
根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.
【详解】
∵当函数为幂函数时，，
解得或，
∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.
8．A
【解析】
，从而可得，，再解不等式即可.
【详解】
由已知，
，所以，
，由，
解得，.
故选：A.
本题考查求正弦型函数的单调区间，涉及到恒成立问题，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
9．B
【解析】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：
则该四棱锥的体积为.
故选：B.
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
10．B
【解析】
将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.
【详解】
当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.
故选：B
本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
11．A
【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.
【详解】
由题意得，，
，
，
解得.
故选A.
本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.
12．B
【解析】
根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.
【详解】
由题意，当时，P与A重合，则与B重合，
所以,故排除C,D选项；
当时，，由图象可知选B.
故选：B
本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.
【详解】
由题意,,,
因为,所以.
故答案为:.
本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.
14．1
【解析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数的最大值．
【详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
由于，则，
要求的最大值，则求的截距的最小值，
显然当平行直线过点时，
取得最大值为：.
故答案为：1．
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.
15．1
【解析】
直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】
由题意，
又，∴，即，
∴的最大值为1．
故答案为：1．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
16．
【解析】
由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】
原问题等价于，
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图
此时，
则，解得：；
综上，满足条件的取值范围为.
故答案为：
本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思想.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望的最大值为280
【解析】
（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，由独立重复事件的特点得出，利用二项分布的概率公式，即可求出结果；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和的分布列；（ⅱ）由题意知，，解得，根据的分布列，得出的数学期望，结合，即可算出的最大值.
【详解】
解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，则，
则，
故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，的取值为200，250，300，350，400，
，，
，，
的分布列为：
（ⅱ），
由题意知，，，
，
，又，即，解得，
，
，
当时，的最大值为280，
所以的数学期望的最大值为280.
本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.
18．（1）（2）1或6
【解析】
（1）设，根据变换可得关于的方程，解方程即可得到答案；
（2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；
【详解】
（1）设，则，，
即，解得，则．
（2）设矩阵的特征多项式为，可得，
令，可得或．
本题考查矩阵的求解、矩阵的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
19．（1）存在；详见解析（2）
【解析】
（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；
（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．
【详解】
解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.
证明如下，取中点，连结.
即易得所以面面，即面．
（2）过作交于
面，
两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
设面法向量，则，即
取
同理可得面的法向量
综上可知锐二面角的余弦值为．
本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
20．（1）证明见解析（2）（3）
【解析】
（1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证；
（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解；
（3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解.
【详解】
（1）证明:取中点为,连接,
因为是等边三角形,所以,
因为且相交于,所以平面,所以,
因为,所以,
因为,在平面内,所以,
所以.
（2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,,
因为在棱上,可设,
所以,
设平面的法向量为,因为,
所以,即,令,可得,即,
设直线与平面所成角为,所以,
可知当时,取最大值.
（3）设,则有,得,
设,那么,所以,
所以.
因为,
,
所以.
又因为,所以,
,设平面的法向量为,
则,即,,可得,即
因为在平面内,所以,所以,
所以,即,
所以或者（舍）,即.
本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力.
21． (1) ；(2) 存在定点，见解析
【解析】
（1）设动点，则，利用，求出曲线的方程．
（2）由已知直线过点，设的方程为，则联立方程组，
消去得，设，，，利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果．
【详解】
解：（1）设动点，则，
，
，即，
化简得：。
由已知，故曲线的方程为。
（2）由已知直线过点，设的方程为，
则联立方程组，消去得，
设，，则
又直线与斜率分别为，
，
则。
当时，，；
当时，，。
所以存在定点，使得直线与斜率之积为定值。
本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）根据同角三角函数式可求得，结合正弦和角公式求得，即可求得，进而由三角函数
（2）设根据余弦定理及基本不等式，可求得的最大值，结合三角形面积公式可求得的最大值，即可求得四边形面积的最大值.
【详解】
（1），
则由同角三角函数关系式可得，
则
，
则，
所以.
（2）设
在中由余弦定理可得，代入可得
，
由基本不等式可知，
即，当且仅当时取等号，
由三角形面积公式可得
，
所以四边形面积的最大值为.
本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.
2
3
4
0.4
200
250
300
350
400
0.16