上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三 模拟数学试卷（含解析）高考模拟

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 设全集，，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全集求补集即可.
【详解】因为，所以，
故答案为：
2. 不等式的解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果.
【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为.
故答案为：.
3. 已知随机变量服从正态分布，则________．
【答案】##
【解析】
【详解】因为，所以正态密度曲线关于直线对称，得到.
4. 已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【详解】当时，，
当时，，符合上式，
所以.
5. 已知实数，满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【详解】由，等式两边平方得：展开得.
由于对任意实数，有，
将其代入上式：，则.
当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1.
6. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________．
【答案】
【解析】
【详解】设，则以为终边的角为，
又，，
所以，
所以点的横坐标为

7. 某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001）
【答案】0.706
【解析】
【分析】先计算全班所有学生生日互不相同的概率，再用对立事件概率关系计算即可.
【详解】设全班30名学生生日全部互不相同为事件A，所以，
所以全班30名学生中至少有2名学生在同一天出生的概率为
8. 利用二项式定理，被8除所得的余数为________．
【答案】7
【解析】
【详解】
.
所以被8除所得的余数为7.
9. 在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解.
【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径）
所以的外接圆半径，
所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示，
以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则外接圆的圆心在直线上，因为半径，
所以圆心坐标为，
根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可，
由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值，
即或，
结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为，
当时，在上的数量投影有最大值，最大值为，
所以在上的数量投影的取值范围为.
10. 双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】联立圆与渐近线得交点，求得向量夹角及已知角得渐近线斜率，再通过直角三角形与二倍角公式求出两渐近线夹角的余弦值.
【详解】由双曲线方程，焦点，
以为直径的圆，取渐近线，
联立，解得或，
所以交点，右顶点，
则向量，
所以，
已知，因此，解得，即，
即,由知,
因为 ，所以，所以,
设圆与轴交点为，所以,
设两渐近线夹角为，则，
所以.
11. 设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据实数x，y满足,设,求出的取值范围，再结合的值与x，y均无关，得到相应不等式恒成立，确定a的取值范围.
【详解】实数x，y满足, 可设,
则,
, 令，则，
则原问题变为的值与t无关，
由于，故，则，
要使得的值与t无关，需满足对所有的恒成立，
即，即对所有的恒成立，故
当时，，符合题意，
实数a的取值范围是.
12. 我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】设一枚“五爱币”对应的咖啡体积占纸杯总容积的比例为，先由“两枚不溢出，三枚溢出”得到13