2026届黑龙江省青冈县一中高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2026届黑龙江省青冈县一中高三下学期一模考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的图像大致为，已知集合，则集合真子集的个数为，已知全集，集合，则，在中，，则=等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A．B．
C．D．
2．设复数z＝，则|z|＝（ ）
A．B． C．D．
3．若集合，，则
A．B．C．D．
4．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知集合，则集合真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
6．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．在中，，则=（ ）
A．B．
C．D．
10．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( )
A．B．C．D．
11．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
A．-40B．-20C．20D．40
12．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧qB．p∨（非q）C．（非p）∧qD．p∧（非q）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________
14．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．
15．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
16．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.
18．（12分）数列满足，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知数列满足对任意都有，其前项和为，且是与的等比中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为，求大于的最小的正整数的值．
21．（12分）已知曲线：和：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线的直角坐标方程和的方程化为极坐标方程；
（2）设与，轴交于，两点，且线段的中点为.若射线与，交于，两点，求，两点间的距离.
22．（10分）已知，函数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若，求的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
【点睛】
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
2、D
【解析】
先用复数的除法运算将复数化简，然后用模长公式求模长.
【详解】
解：z＝＝＝＝﹣﹣,
则|z|＝＝＝＝.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.
3、C
【解析】
解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.
【详解】
因为或，，所以，故选C.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属于容易题.
4、A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
5、C
【解析】
解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.
【详解】
解：由，得
所以集合的真子集个数为个.
故选：C
【点睛】
此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.
6、C
【解析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
7、D
【解析】
可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，
设，，则，且有，解得，，
设，，设圆切于点，则，，
由，解得，，
，所以为等边三角形，
所以，，解得.
因此，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
8、D
【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
，，，
.
故选：.
【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.
9、B
【解析】
在上分别取点,使得,
可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案．
【详解】
如下图，，在上分别取点,使得,
则为平行四边形，故,故答案为B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．
10、C
【解析】
由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.
【详解】
由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，
故选C
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.
11、D
【解析】
令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.
故常数项==-40+80=40
12、C
【解析】
首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.
【详解】
根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题；
根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题.
故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，所以有
解得，
故该圆锥的体积为。
【点睛】
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。
14、
【解析】
由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案．
15、
【解析】
先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.
【详解】
一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：
1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个，
其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件，
因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.
16、
【解析】
由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．
【详解】
若方程无解，
则或恒成立，所以为上的单调函数，
都有，
则为定值，
设，则，易知为上的增函数，
，
，
又与的单调性相同，
在上单调递增，则当，，恒成立，
当，时，，，，，
，
此时，
故答案为：
【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；
（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.
【详解】
（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.
联立，解得或，所以.
故抛物线的方程为；
（2）设的方程为，联立有，
设点，，则，所以.
所以，解得.
所以直线的方程为，恒过点.
又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
18、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）利用，推出，然后利用等差数列的通项公式，即可求解；
（2）由（1）知，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.
【详解】
（1）由题意，数列满足且
可得，即，
所以数列是公差，首项的等差数列，
故，所以.
（2）由（1）知，
所以数列的前n项和：
=
=
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及“裂项法”求解数列的前n项和，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
19、（1）证明见解析 （2）
【解析】
(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
【详解】
（1）证明：连接，，由图1知，四边形为菱形，且，
所以是正三角形，从而.
同理可证，，
所以平面.
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
易知，且为的中点，所以，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，，且四边形为正方形.设的中点为，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
由得
取.
设直线与平面所成的角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
20、（1）（2）4
【解析】
（1）利用判断是等差数列，利用求出，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用的通项公式,求出，用错位相减法求出，最后建立不等式求出最小的正整数.
【详解】
解：任意都有，
数列是等差数列，
，
又是与的等比中项，，设数列的公差为，且，
则，解得，
，
；
由题意可知 ，
①，
②，
①﹣②得：，
，
，
由得，，
，
，
满足条件的最小的正整数的值为．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列中，是最基本的两个量，一般可设出和，利用等差数列的通项公式和前项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式
21、（1），；（2）1.
【解析】
（1）利用正弦的和角公式，结合极坐标化为直角坐标的公式，即可求得曲线的直角坐标方程；先写出曲线的普通方程，再利用公式化简为极坐标即可；
（2）先求出的直角坐标，据此求得中点的直角坐标，将其转化为极坐标，联立曲线的极坐标方程，即可求得两点的极坐标，则距离可解.
【详解】
（1）：可整理为，
利用公式可得其直角坐标方程为：，
：的普通方程为，
利用公式可得其极坐标方程为
（2）由（1）可得的直角坐标方程为，
故容易得，，
∴，∴的极坐标方程为，
把代入得，.
把代入得，.
∴，
即，两点间的距离为1.
【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，涉及参数方程转化为普通方程，以及在极坐标系中求两点之间的距离，属综合基础题.
22、（1）；（2）.
【解析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后解不等式，可得出函数的单调递增区间；
（2）由得出，并求出的值，利用两角差的正弦公式可求出的值.
【详解】
（1）当时，
，
由，得，
因此，函数的单调递增区间为；
（2），，
，，，，
．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属中等题．