2026届黑龙江省哈尔滨师大附中高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届黑龙江省哈尔滨师大附中高三3月份模拟考试数学试题含解析，共6页。试卷主要包含了复数的模为等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A．B．
C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
4．如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点F，M分别在线段AC，BD1（不包含端点）上运动，则（ ）
A．在点F的运动过程中，存在EF//BC1
B．在点M的运动过程中，不存在B1M⊥AE
C．四面体EMAC的体积为定值
D．四面体FA1C1B的体积不为定值
5．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
8．复数的模为（ ）．
A．B．1C．2D．
9．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( )
A．B．C．D．
10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则（ ）
A．170B．10C．172D．12
11．已知函数的图象如图所示，则可以为（ ）
A．B．C．D．
12．过椭圆的左焦点的直线过的上顶点，且与椭圆相交于另一点，点在轴上的射影为，若，是坐标原点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．
14．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______.
15．已知全集，集合，则______.
16．若满足，则目标函数的最大值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）记为数列的前项和，N.
（1）求；
（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和.
19．（12分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）本小题满分14分）
已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度
21．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，
（1）求的值；
（2）求边的长.
22．（10分）如图，在三棱柱中，平面，，且.
（1）求棱与所成的角的大小；
（2）在棱上确定一点，使二面角的平面角的余弦值为.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，，设为的中点，为的中点，
由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，
由题易知，的补角，分别为，
设三棱柱的棱长为2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
2、C
【解析】
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
【详解】
解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2），
故选：C
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3、C
【解析】
根据表示圆和直线与圆有公共点，得到，再利用二次函数的性质求解.
【详解】
因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
4、C
【解析】
采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.
【详解】
A错误
由平面，//
而与平面相交，
故可知与平面相交，所以不存在EF//BC1
B错误，如图，作
由
又平面，所以平面
又平面，所以
由//，所以
，平面
所以平面，又平面
所以，所以存在
C正确
四面体EMAC的体积为
其中为点到平面的距离，
由//，平面，平面
所以//平面，
则点到平面的距离即点到平面的距离，
所以为定值，故四面体EMAC的体积为定值
错误
由//，平面，平面
所以//平面，
则点到平面的距离即为点到平面的距离，
所以为定值
所以四面体FA1C1B的体积为定值
故选：C
【点睛】
本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.
5、D
【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率.
【详解】
双曲线与互为共轭双曲线，
四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为，
四个顶点形成的四边形的面积，
四个焦点连线形成的四边形的面积，
所以，
当取得最大值时有，，离心率，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.
6、B
【解析】
首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，
那么，利用的最小正周期为，从而求得结果.
【详解】
的最小正周期为，
那么(∈)，
于是，
于是当时，最小值为，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.
7、D
【解析】
试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
8、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：，
复数的模为．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．
9、B
【解析】
由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.
10、D
【解析】
中位数指一串数据按从小（大）到大（小）排列后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.
【详解】
由茎叶图知，甲的中位数为，故；
乙的平均数为，
解得，所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.
11、A
【解析】
根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
【详解】
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意，排除C.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
12、D
【解析】
求得点的坐标，由，得出，利用向量的坐标运算得出点的坐标，代入椭圆的方程，可得出关于、、的齐次等式，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】
由题意可得、.
由，得，则，即.
而，所以，所以点.
因为点在椭圆上，则，
整理可得，所以，所以.
即椭圆的离心率为
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出、、的齐次等式，充分利用点在椭圆上这一条件，围绕求点的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．
【详解】
解：函数的定义域为，，，
设曲线与曲线公共点为，
由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．
由，可得．
联立，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
14、
【解析】
由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与抛物线相切时，取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的离心率.
【详解】
是抛物线准线上的一点
抛物线方程为 ，准线方程为
过作准线的垂线，垂足为，则

设直线的倾斜角为，则
当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切
设直线的方程为，代入得：
，解得： 或
双曲线的实轴长为，焦距为
双曲线的离心率
故答案为：
【点睛】
本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义的应用；关键是能够确定当取得最小值时，直线与抛物线相切，进而根据抛物线切线方程的求解方法求得点坐标.
15、
【解析】
根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．
【详解】
根据题意知，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．
16、-1
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，
由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
由得即，则有最大值，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接.
通过证明，证得平面，由此证得平面平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）取中点，中点，连接，，.
设交于，则为的中点，连接.
设，则，，∴.
由已知，，∴平面，∴.
∵，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，，，，，
设平面的法向量为，∴，令得.
设平面的法向量为，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值为.
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18、（1）；（2）证明见详解，
【解析】
（1）根据，可得，然后作差，可得结果.
（2）根据（1）的结论，用取代，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前项和公式，可得结果.
【详解】
（1）由①，则②
②-①可得：
所以
（2）由（1）可知：③
则④
④-③可得：
则，且
令，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列
所以
【点睛】
本题主要考查递推公式以及之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.
19、（1）证明见解析（2）
【解析】
(1) 取中点R，连接，,可知中,且,由Q是中点,可得则有且,即四边形是平行四边形,则有,即证得平面.
(2) 建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量: ,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）取中点R，连接，，
则在中，，且，
又Q是中点，所以，
而且，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）在平面内作交于点G，以E为原点，，，分别为x，y，x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点坐标为，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则即，
取，得，
又平面的一个法向量为，
所以.
因此，二面角的余弦值为
【点睛】
本题考查线面平行的判定,考查利用空间向量求解二面角,考查逻辑推理能力及运算求解能力,难度一般.
20、
【解析】解：解：将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，
即，它表示以为圆心，2为半径圆， ………………………4分
直线方程的普通方程为， ………8分
圆C的圆心到直线l的距离，……………………………10分
故直线被曲线截得的线段长度为．……………14分
21、（1） （2）
【解析】
（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．
【详解】
(1)因为角 为钝角， ，所以 ，
又 ，所以 ，
且 ，
所以
.
(2)因为 ，且 ，所以 ，
又 ，
则 ，
所以 .
22、（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）因为AB⊥AC，A1B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA1的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA1与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）设棱B1C1上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA1的一个法向量，把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值为，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．
试题解析：
解（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
.
，
故与棱所成的角是.
（2）为棱中点，
设，则.
设平面的法向量为，，
则，
故
而平面的法向量是，则，
解得，即为棱中点，其坐标为.
点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.