2026届黑龙江省哈市六中高考压轴卷数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省哈市六中高考压轴卷数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了已知直线等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
2．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
3．在平行四边形中，若则( )
A．B．C．D．
4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为，小张离开家的时间为，看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件的概率等于（ ）
A．B．C．D．
5．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）
A．年该工厂的棉签产量最少
B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C．三年累计下来产量最多的是口罩
D．口罩的产量逐年增加
6．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
8．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知为两条不重合直线，为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ）
A．∥B．∥
C．∥∥D．
10．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
11．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）
A．55B．500C．505D．5050
12．的展开式中的系数是-10，则实数( )
A．2B．1C．-1D．-2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量与的夹角为，，，则________.
14．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______.
15．若四棱锥的侧面内有一动点Q，已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，k的值为______.
16．的展开式中项的系数为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的长轴长为，离心率
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆与轴正半轴和轴正半轴的交点，是椭圆上在第一象限的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由.
18．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.
19．（12分）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.
21．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
22．（10分）如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得.
【详解】
解：依题： ，
又三点共线，
，解得．
故选：．
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,)
2、A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
3、C
【解析】
由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.
【详解】
如图所示,
平行四边形中, ,
，
，
,
因为,
所以
,
，
所以，故选C.
【点睛】
本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
4、D
【解析】
这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.
【详解】
解：事件发生，需满足，即事件应位于五边形内，作图如下：
故选：D
【点睛】
考查几何概型，是基础题.
5、C
【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；
由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
6、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，
且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，
可得，可取，则，
设，，则，，，
由，，成等差数列，可得，
化为，即，
可得，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
7、D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
8、A
【解析】
分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.
详解：根据题意有，如果交换一个球，
有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，
红球的个数就会出现三种情况；
如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，
对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A.
点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果.
9、D
【解析】
根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
对于A，当，，时，则平面与平面可能相交，，，故不能作为的充分条件，故A错误；
对于B，当，，时，则，故不能作为的充分条件，故B错误；
对于C，当，，时，则平面与平面相交，，，故不能作为的充分条件，故C错误；
对于D，当，，，则一定能得到，故D正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.
10、A
【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.
【详解】
设，且线过定点即为的圆心，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.
11、C
【解析】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.
【详解】
因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，
所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，
又阶幻方有行（或列），
因此，，
于是．
故选：C
【点睛】
本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.
12、C
【解析】
利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可.
【详解】
二项式展开式的通项为，令，得，
则，所以，解得.
故选：C
【点睛】
本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
根据已知求出，利用向量的运算律，求出即可.
【详解】
由可得，
则，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.
14、
【解析】
由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
【详解】
由题可构建如图所示的图形，因为AQ是的角平分线，由角平分线成比例定理可知,所以.
设点，点，即，
则，
所以.
又因为点是圆上的动点，
则，
故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆，
又即为该圆上的点与原点间的距离，
因为，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.
15、
【解析】
二面角平面角为，点Q到底面的距离为，点Q到定直线得距离为d，则.再由点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，可得，由此可得，则由可求k值.
【详解】
解：如图，
设二面角平面角为，点Q到底面的距离为，
点Q到定直线的距离为d，则，即.
∵点Q到底面的距离与到点P的距离之比为正常数k，
∴，则，
∵动点Q的轨迹是抛物线，
∴，即则.
∴二面角的平面角的余弦值为
解得：（）.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了四棱锥的结构特征，由四棱锥的侧面与底面的夹角求参数值，属于中档题.
16、40
【解析】
根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数．
【详解】
根据二项定理展开式的通项式得
所以 ，解得
所以系数
【点睛】
本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）是定值，详见解析
【解析】
（1）根据长轴长为，离心率，则有求解.
（2）设，则，直线，令得，，则，直线，令，得，则，再根据求解.
【详解】
（1）依题意得，
解得，
则椭圆的方程.
（2）设，则，
直线，
令得，，
则，
直线，
令，得，
则，
.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.
18、 (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．
试题解析：
（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；
又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ，， ，，，
设面ABF的法向量为，依题意有，，令，，，，，
直线AD与面ABF成的角的正弦值是．
19、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；
(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为
试题解析：
（I）当时，化为，
当时，不等式化为，无解；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，解得．
所以的解集为．
（II）由题设可得，
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．
由题设得，故．
所以a的取值范围为
20、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线的焦点在直线上，可求得的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线，的方程分别为和且，，，可得，，，的坐标，进而可得直线的方程，根据在直线上，可得，再分别求得，，即可得证；法二：设，，则，根据直线的斜率不为0，设出直线的方程为，联立直线和抛物线的方程，结合韦达定理，分别求出，，化简，即可得证.
【详解】
（1）抛物线C的焦点坐标为，且该点在直线上，
所以，解得，故所求抛物线C的方程为
（2）法一：由点F在线段上，可设直线，的方程分别为和且，，，则，，，.
∴直线的方程为，即.
又点在线段上，∴.
∵P是的中点，∴
∴，.
由于，不重合，所以
法二：设，，则
当直线的斜率为0时，不符合题意，故可设直线的方程为
联立直线和抛物线的方程，得
又，为该方程两根，所以，，，.
，
由于，不重合，所以
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
21、（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
22、 (1)证明见解析 (2)
【解析】
（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】
证明：证明：连接交于点，
则为的中点．又是的中点，
连接，则．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，可得：，即
所以
又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，
设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
则
所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．