福建省福州第一中学2026届高三5月质量检测数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省福州第一中学2026届高三5月质量检测数学试卷含答案（word版），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(注意: 不得使用计算器, 并把答案写在答案卷上)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U=R ，集合 A={y∣y=lg1−x} ， B=x y=1x ，则 A∩B= ()
A. 0,1 B. [0,1) C. 0,+∞ D. [0,+∞)
2. 设复数 z 满足 z−iz=2+i ( i 为虚数单位),则 z 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部, 统计其评分数据, 将所得 400 个评分数据分为 8 组: [66,70),[70,74),…,94,98 ,并整理得到如下的频率分布直方图,则评分在区间 [82,86) 内的影视作品数量是( )
A. 20 B. 40 C. 64 D. 80
4. 对于直线 m、n 和平面 α ,下列命题中的真命题是( )
A. 若 m⊂α,n⊄α,m、n 是异面直线,则 n//α
B. 若 m⊂α,n⊄α,m、n 是异面直线,则 n 与 α 相交
C. 若 m⊂α,n//α,m、n 共面,则 m//n
D. 若 m//α,n//α,m、n 共面,则 m//n
5. 已知函数 fx 在 R 上单调递增,设 gx=f−x−fx ,则函数 gx 是 ( )
A. 奇函数,且在 R 上单调递增 B. 偶函数,且在 R 上单调递增
C. 奇函数,且在 R 上单调递减 D. 偶函数,且在 R 上单调递减
6. 某电子产品的电池健康度 E 随循环次数 n 衰减的函数模型为 En=Ae−kn+30 ,其中 A,k 为常数， A>0,k>0,n∈N . 已知 E0=100,E100=80 ，则电池健康度从 80 衰减到 60，循环次数大约需要增加( )(参考数据: ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln7≈1.95 )
A. 120 B. 150 C. 170 D. 180
7. 当函数 fx=3sinx−4csx 取得最小值时， tanx= ( )
A. −34 B. −43 C. 34 D. 43
8. 将1,2,3,4,5,6,7,8,9这 9 个数随机填入 3×3 的方格表中,每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则每行、每列所填数之积都是偶数的概率是( )
A. 114 B. 514 C. 27 D. 47
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对于实数 a,b,c ,下列命题是真命题的为( )
A. 若 a>b ，则 1ab ,则 ac2≥bc2
C. 若 a>0>b ,则 a2a>b>0 ,则 ac−a>bc−b
10. 已知 A0,0,B1,0,C2,0,D3,0 ,过 A,B 分别作直线 l1,l2 ,使得 l1//l2 , 过 C,D 分别作直线 l3,l4 ,使得 l3//l4 ,若四条直线 l1,l2,l3,l4 围成矩形,则该矩形 ( )
A. 面积有最大值 12 B. 周长有最大值 2
C. 外接圆面积是定值 D. 中心在定圆上
11. 已知无穷等比数列 an 的各项均为正数,且对任意的正整数 i ,总存在正整数 s,t s≠t ，使得 ai=as−at ，则 an 的公比可能( )
A. 等于 2 B. 大于 2C. 小于 2 D. 有无穷个取值
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 在 x3−2x4 的展开式中,常数项为_____. (用数字作答)
13. 已知双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,M 为双曲线 E 右支上一点,点 P 在 y 轴上,若 F1P=2PM ,且 F1F2=2MF2 ,则双曲线 E 的离心率为_____.
14. 三棱锥 A−BCD 中, ∠ABD=∠ACD=60∘,AD⊥BC 且 AD=4,BC=6 ,则三棱锥 A−BCD 体积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知函数 fnx=−1nxn ,其中 n∈N∗
(1)记 gx=fnx−fn+1x ，若 0 为 gx 的极值点，求证: n 为偶数.
(2)求 k=12nfk′1 .
16. (15 分)
甲袋中有编号为 1~5 的 3 红 2 白共 5 个小球, 小球除编号和颜色外没有任何不同.从甲袋中随机抽取 2 球, 若两球同色, 则将此两球放入空的乙袋中, 再从乙袋中随机抽 1 球; 若两球异色,则将两球放回甲袋,再从甲袋中随机抽 1 球.记 X 表示两次抽取的小球中红球 (编号相同仅算一个) 的个数.
(1)求 X=0 的概率.
(2)求 X 的分布列与期望.
17. (15 分)
在四棱锥 P−ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， AP=3 ， PD=2 . 在梯形 ABCD 中， AD//BC,∠BCD=90∘,AD=CD=1,BC=2 .

(1)证明: PA⊥ 平面 ABCD ；
(2)若 M 为棱 PB 的中点，
(i) 求 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值;
(ii)过 CM 作平面 α ,使得 BD//α ,记 α 与棱 PA、PD 的交点分别为 L、N ,求 LN .
18. (17 分)
已知圆 C1:x+12+y2=14 ,圆 C2:x−12+y2=494 ,动圆 M 与圆 C1 外切,与圆 C2 内切. (1)求 M 的轨迹 E 的标准方程.
(2) △ABC 的三个顶点均在 E 上且 △ABC 的重心为原点 O ，点 A 的坐标为 x0,y0 .
(i) 求直线 BC 的一般式方程 (用 x0、y0 表示);
(ii)求证: △ABC 的面积为定值.
19. (17 分)
(1)求证: sina+sinb=2sina+b2csa−b2 .
(2)若对任意的 a 、 b 、 c∈D 满足 a+b>c 、 b+c>a 、 c+a>b 都有 fa+fb>λfc ，则称 fx 为 D 上的 λ 阶三角形函数.
已知 fx=sinωx 是 0,π 上的 λ 阶三角形函数.
(i)若 ω=14 ,求 λ 的最大值 M .
(ii)若 λ=M ,求 ω 的最大值 N .