2026届河南省洛阳市汝阳县实验高中高三一诊考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省洛阳市汝阳县实验高中高三一诊考试数学试卷含解析，共17页。试卷主要包含了已知为虚数单位，若复数，则，已知向量，，当时，，已知随机变量服从正态分布，，等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题，那么为（ ）
A．B．
C．D．
2．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数一个递增区间为
C．函数的图像关于直线对称
D．将函数图像向左平移个单位可得函数的图像
3．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知为虚数单位，若复数，则
A．B．
C．D．
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等腰或直角三角形D．钝角三角形
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1
7．记集合和集合表示的平面区域分别是和,若在区域内任取一点,则该点落在区域的概率为( )
A．B．C．D．
8．已知向量，，当时，（ ）
A．B．C．D．
9．已知随机变量服从正态分布，，（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为( )
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______．
14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.
15．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是______.
16．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数
为______________.(用数字作答)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
18．（12分）已知中，，，是上一点．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的值．
19．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
20．（12分）若关于的方程的两根都大于2，求实数的取值范围．
21．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.
22．（10分）如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分.
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.
【详解】
已知命题，，那么是.
故选：．
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2、B
【解析】
化简到，根据定义域排除，计算单调性知正确，得到答案.
【详解】
，
故函数的定义域为，故错误；
当时，，函数单调递增，故正确；
当，关于的对称的直线为不在定义域内，故错误.
平移得到的函数定义域为，故不可能为，错误.
故选：.
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
3、A
【解析】
分析：设，则，把用表示，然后令，由导数求得的最小值．
详解：设，则，，，
∴，令，
则，，∴是上的增函数，
又，∴当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，是极小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故选A．
点睛：本题易错选B，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．
4、B
【解析】
因为，所以，故选B．
5、C
【解析】
利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；
【详解】
解：因为
所以
所以
所以
所以
所以
当时，为直角三角形；
当时即，为等腰三角形；
的形状是等腰三角形或直角三角形
故选：．
【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
6、A
【解析】
由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】
两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】
本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.
7、C
【解析】
据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求落在区域内的概率，只要求、所表示区域的面积，然后代入概率公式，计算即可得答案．
【详解】
根据题意可得集合所表示的区域即为如图所表示：
的圆及内部的平面区域，面积为，
集合，，表示的平面区域即为图中的，，
根据几何概率的计算公式可得，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．
8、A
【解析】
根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.
【详解】
，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.
9、B
【解析】
利用正态分布密度曲线的对称性可得出，进而可得出结果.
【详解】
，所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.
10、A
【解析】
在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.
【详解】
由已知，，在中，由余弦定理，得
，又，，所以，
，
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题.
11、B
【解析】
设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率.
【详解】
解：不妨设过点作的垂线，其方程为，
由解得，，即，
由，所以有，
化简得，所以离心率．
故选：B.
【点睛】
本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．
12、B
【解析】
利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.
【详解】
如图，，设为的中点，为的中点，
由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，
由题易知，的补角，分别为，
设三棱柱的棱长为2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】
利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值．
【详解】
展开式通项为：
且的展开式中的系数比的系数大
，即：
解得：（舍去）或
本题正确结果：
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14、8.
【解析】
利用转化得到加以计算，得到.
【详解】
向量
则.
【点睛】
本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.
15、7
【解析】
作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)
设z=F(x,y)=2x+3y，将直线l:z=2x+3y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值
∴z最小值=F(2,1)=7
16、5040.
【解析】
分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为。填5040.
【点睛】
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) (2)见解析
【解析】
（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.
【详解】
(1)由题意可得，，又，
解得，.
所以，椭圆的方程为
(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.
设，，定点.(依题意
则由韦达定理可得，，.
直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.
所以，，即得.
又，，
所以，，整理得，.
从而可得，，
即，
所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
【点睛】
本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.
18、（1） （2）
【解析】
（1）运用三角形面积公式求出的长度，然后再运用余弦定理求出的长.
（2）运用正弦定理分别表示出和，结合已知条件计算出结果.
【详解】
（1）由
在中，由余弦定理可得
（2）由已知得
在中，由正弦定理可知
在中，由正弦定理可知
故
【点睛】
本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理，结合三角形熟练运用各公式是解题关键，此类题目是常考题型，能够运用公式进行边角互化，需要掌握解题方法.
19、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.
【详解】
（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.
由题意易知，，所以，，
因为，所以平面，
又平面，所以.
（2）设，，由已知可得：平面平面，
所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，
又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，
，，由平面几何知识，得.
则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，由，可得，
令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.
设平面与平面所成角为，
则，所以.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.
20、
【解析】
先令，根据题中条件得到，求解，即可得出结果.
【详解】
因为关于的方程的两根都大于2，
令
所以有，
解得，所以.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型.
21、（1）；（2）或
【解析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．
y1＋y2＝4m，y1y2＝2． …6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4， ①
又， ②
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．
所以，直线l的方程为，或． …12分
考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.
22、（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由于直线平分，所以，代入点的坐标化简得，结合跟鱼系数关系，可求得；（2）设，，，由三点共线得，再次代入点的坐标并化简得，同理由三点共线，可得，化简得，故.
试题解析：
（1）由，整理得，
设，，则，
因为直线平分，∴，
所以，即，
所以，得，满足，所以.
（2）由（1）知抛物线方程为，且，，，
设，，，由三点共线得，
所以，即，
整理得：，①
由三点共线，可得，②
②式两边同乘得：，
即：，③
由①得：，代入③得：，
即：，所以.
所以.
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点晴】本题考查直线与抛物线的位置关系.阅读题目后明显发现，所有的点都是由直线和抛物线相交或者直线与直线相交所得.故第一步先联立，相当于得到的坐标，但是设而不求.根据直线平分，有，这样我们根据斜率的计算公式，代入点的坐标，就可以计算出的值.第二问主要利用三点共线来求解.