2026届河南省兰考县三中高三冲刺模拟数学试卷含解析

这是一份2026届河南省兰考县三中高三冲刺模拟数学试卷含解析，共19页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，集合，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数的共轭复数是
C．D．
2．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．3D．
3．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）
A．B．C．D．
4．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
5．已知函数，若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
6．在中，内角所对的边分别为，若依次成等差数列，则（ ）
A．依次成等差数列B．依次成等差数列
C．依次成等差数列D．依次成等差数列
7．已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.
A．6B．5C．4D．3
8．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）
A．B．C．D．
9．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（ ）
A．物理化学等级都是的学生至多有人
B．物理化学等级都是的学生至少有人
C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人
D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________．
14．设复数满足,则_________.
15．已知数列的前项满足，则______.
16．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．
18．（12分）若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）
（1）求数列的通项公式：
（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.
19．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．
(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；
(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．
20．（12分）设
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围.
21．（12分）某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
22．（10分）已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.
2、A
【解析】
由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理得：，
又，所以得，
故△ABC的面积.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.
3、C
【解析】
需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，
，结合比值与正切二倍角公式化简即可
【详解】
如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，
所以，，，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题
4、C
【解析】
根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.
【详解】
设，则
由椭圆的定义，可以得到
,
在中，有，解得
在中，有
整理得，
故选C项.
【点睛】
本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.
5、B
【解析】
由函数的奇偶性可得，
【详解】
∵
其中为奇函数，也为奇函数
∴也为奇函数
∴
故选：B
【点睛】
函数奇偶性的运用即得结果，小记，定义域关于原点对称时有：①奇函数±奇函数=奇函数；②奇函数×奇函数=偶函数；③奇函数÷奇函数=偶函数；④偶函数±偶函数=偶函数；⑤偶函数×偶函数=偶函数；⑥奇函数×偶函数=奇函数；⑦奇函数÷偶函数=奇函数
6、C
【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，从而可得结果.
【详解】
依次成等差数列，，
正弦定理得，
由余弦定理得 ，，即依次成等差数列，故选C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
7、C
【解析】
若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可.
【详解】
由已知，，又三角形有一个内角为，所以，
，解得或（舍），
故，当时，取得最大值，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
8、C
【解析】
根据循环结构的程序框图，带入依次计算可得输出为25时的值，进而得判断框内容.
【详解】
根据循环程序框图可知，
则，
，
，
，
，
此时输出，因而不符合条件框的内容，但符合条件框内容，结合选项可知C为正确选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查了循环结构程序框图的简单应用，完善程序框图，属于基础题.
9、A
【解析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
10、A
【解析】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.
【详解】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上
的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为
.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
11、B
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】
依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.
12、D
【解析】
根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），
表格变为：
对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；
对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；
对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，
因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），
C选项错误；
对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
直接计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
则质量指标值位于区间之外的产品件数：
故答案为：
【点睛】
本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.
14、.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
15、
【解析】
由已知写出用代替的等式，两式相减后可得结论，同时要注意的求解方法．
【详解】
∵①，
∴时，②，
①－②得，
∴，
又，
∴（）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查求数列通项公式，由已知条件．类比已知求的解题方法求解．
16、
【解析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解．
【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共有个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、见解析
【解析】
（1）当时，函数，其定义域为，
则，设，，
易知函数在上单调递增，且，
所以当时，，即；当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，为，无极大值．
（2）由题可得函数的定义域为，，
设，，显然函数在上单调递增，
当时，，，
所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，
所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；
当时，，，因为，所以，，
又，所以函数在内有一个零点，
所以函数有且仅有一个零点．
综上，函数有且仅有一个零点．
18、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）利用可得的递推关系，从而可求其通项.
（2）由为等比数列可得，从而可得的通项，利用错位相减法可得的前项和，利用不等式的性质可证.
【详解】
（1）由题意，得：（t为常数，且），
当时，得，得.
由，
故，，故.
（2）由，
由为等比数列可知：，又，故
，化简得到，
所以或（舍）.
所以，，则.
设的前n项和为.则
，相减可得
【点睛】
数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
19、 (Ⅰ). (Ⅱ)见解析.
【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．
【详解】
(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福
(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以的期望
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．
20、（1）（2）
【解析】
(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.
(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.
【详解】
解：（1）当时，，即
或或
解之得或，即
不等式的解集为.
（2）由题意得：
当时为减函数，显然恒成立.
当时，为增函数，
，
当时，为减函数，
综上所述：使恒成立的的取值范围为.
【点睛】
本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.
21、（1）（2）应该购买21件易耗品
【解析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】
（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；
设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则
,,,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
,
,
故,
即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.
（2）以题意知,X所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知,,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
【点睛】
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】
（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】
本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8
型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10
型号C
0
45
15
物理
化学