2026届河南省开封市重点中学高考仿真卷数学试卷含解析

这是一份2026届河南省开封市重点中学高考仿真卷数学试卷含解析，共20页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知满足，则，集合的真子集的个数为，在中，“”是“为钝角三角形”的等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设向量，满足，，，则的取值范围是
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知是圆上两个动点，且满足，设到直线的距离之和的最大值为，若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．B．C．D．
5．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ）
A．8B．7C．4D．3
7．已知满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．集合的真子集的个数为( )
A．7B．8C．31D．32
9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中与不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）
A．12B．16C．20D．8
10．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
12．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根.
14．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为__________．
15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．
16．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求.某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如下：
（1）若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？
（2）根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？
附：
18．（12分）已知数列和满足：.
（1）求证:数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
19．（12分）已知函数，设为的导数，．
（1）求，；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
20．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值.
（1）求实数的值与实数的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：
（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；
（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：
①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；
②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.
22．（10分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；
（2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的的观测值越大，排名就越靠前；
设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的观测值分别为，，.已知，，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：，其中.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由模长公式求解即可.
【详解】
，
当时取等号，所以本题答案为B.
【点睛】
本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.
2、A
【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，又为锐角
所以，
根据三角函数的定义：
所以
由
所以
故选：A
【点睛】
本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.
3、B
【解析】
由于到直线的距离和等于中点到此直线距离的二倍，所以只需求中点到此直线距离的最大值即可。再得到中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和中点到此直线距离的最大值的关系可以求出。再通过裂项的方法求的前项和，即可通过不等式来求解的取值范围.
【详解】
由，得，.设线段的中点，则，在圆上，到直线的距离之和等于点到该直线的距离的两倍，点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆的圆心到直线的距离为，，，.
.
故选：
【点睛】
本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.
4、D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
5、B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
【点睛】
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
6、D
【解析】
转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.
【详解】
由题意得，
，集合的真子集的个数为个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
7、A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】
计算，再计算真子集个数得到答案.
【详解】
，故真子集个数为：.
故选：.
【点睛】
本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.
9、A
【解析】
先将除A，B以外的两人先排，再将A，B在3个空位置里进行插空，再相乘得答案.
【详解】
先将除A，B以外的两人先排，有种；再将A，B在3个空位置里进行插空，有种，所以共有种.
故选：A
【点睛】
本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.
10、C
【解析】
分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在中，因为，
所以，因为，
所以，，
结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，
所以，即，所以，
因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，
所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
11、A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
12、D
【解析】
根据抛物线的定义，结合，求出的坐标，然后求出的斜率即可．
【详解】
解：抛物线的焦点，准线方程为，
设，则，故，此时，即．
则直线的斜率．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②④
【解析】
由函数，对选项逐个验证即得答案.
【详解】
函数，
是周期函数，最小正周期为，故①正确；
当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即.
的对称轴方程为，，故②正确；
当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误；
作出函数的部分图象，如图所示
方程在区间有6个根，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题.
14、16.
【解析】
由题意可知抛物线的焦点，准线为
设直线的解析式为
∵直线互相垂直
∴的斜率为
与抛物线的方程联立，消去得
设点
由跟与系数的关系得，同理
∵根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离
∴，同理
∴，当且仅当时取等号.
故答案为16
点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．
15、2
【解析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】
由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以.
所以.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16、
【解析】
设，，，根据勾股定理得出，而由椭圆的定义得出的周长为，有，便可求出和的关系，即可求得椭圆的离心率.
【详解】
解：由已知，的三边长，，成等差数列，
设，，，
而，根据勾股定理有：，
解得：，
由椭圆定义知：的周长为，有，，
在直角中，由勾股定理，，即：，
∴离心率.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用，考查计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）多2350人；（2）有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【解析】
（1）根据题意，知100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，即可估计该地区购买“小爱同学”的女性人数和购买“天猫精灵”的女性的人数，即可求得答案；
（2）根据列联表和给出的公式，求出，与临界值比较，即可得出结论.
【详解】
解：（1）由题可知，100人中购买“小爱同学”的女性有55人，购买“天猫精灵”的女性有40人，
由于地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，
估计购买“小爱同学”的女性有人.
估计购买“天猫精灵”的女性有人.
则，
∴估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人.
（2）由题可知， ，
∴有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关.
【点睛】
本题考查随机抽样估计总体以及独立性检验的应用，考查计算能力.
18、（1）见解析（2）
【解析】
（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列.
（2）由（1）求得数列的通项公式，判断出，由此利用裂项求和法求得数列的前项和.
【详解】
（1）
所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
∴为常数列，且，
∴，
∴
∴
【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.
19、,；
，证明见解析
【解析】
对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;
根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）
，其中，
[
，其中，
（2）猜想，
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立，
②假设时，猜想成立
即
当时，
当时，猜想成立
由①②对成立
【点睛】
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.
20、（1）， ；（2）
【解析】
（1）由奇函数可知 在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数的值；对函数进行求导，，通过导数求出，若，则恒成立不符合题意，当，可证明，此时时有极小值.
（2）可知，进而得到，令，通过导数可知在上为单调减函数，由可得，从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，
所以，化简可得，所以.
则，令，则.
故当时，；当时，，
故在上递减，在上递增，
若，则恒成立，单调递增，无极值点；
所以，解得，取，则
又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，
存在为函数的零点，为极小值，所以，的取值范围是.
（2）由满足，代入，消去可得
.构造函数，
所以，当时，，即恒成立，
故在上为单调减函数，其中.则可转化为，
故，由，设，可得当时，
则在上递增，故.
综上，的取值范围是.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于 恒成立的问题，常转化为求 的最小值，使；对于 恒成立的问题，常转化为求 的最大值，使.
21、（1）；（2）①分布列见解析，；②小张应选择甲公司应聘.
【解析】
（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．
（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，．的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．
②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【详解】
解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，
记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，
则．
（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以的分布列为
．
②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为
，
所以甲公司送餐员的日平均工资为元，
因为，所以小张应选择甲公司应聘．
【点睛】
本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22、（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”
【解析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出观测值，查表判断.
【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小
属于“山水田园”类别的概率约为；属于“其他”类别的概率约为；
（2）列联表如下：
计算得：；
因为，，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”.
【点睛】
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
“小爱同学”智能音箱
“天猫精灵”智能音箱
合计
男
45
60
105
女
55
40
95
合计
100
100
200
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
送餐单数
38
39
40
41
42
甲公司天数
10
10
15
10
5
乙公司天数
10
15
10
10
5
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
篇数
100
64
55
99
91
73
18
500
含“山”字的篇数
51
48
21
69
48
30
4
271
含“帘”字的篇数
21
2
0
0
7
3
5
38
含“花”字的篇数
60
6
14
17
32
28
3
160
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
总计
含“花”字的篇数
不含“花”的篇数
总计
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
228
234
240
247
254
属于“爱情婚姻”类
不属于“爱情婚姻”类
共计
含“花”的篇数
60
100
160
不含“花”的篇数
40
300
340
共计
100
400
500