高考数学一轮复习考点讲与练专题15 导数与函数的单调性同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题15 导数与函数的单调性同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了下列函数在区间，上单调递增的是，定义在的函数满足，，则，，的大小关系是，若函数是增函数，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2025春•淄博期中）已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
2．（2025春•松滋市期中）已知函数在上单调递增，则实数的最小值是
A．B．1C．D．
3．（2025春•雁塔区月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则
A．B．
C．D．
4．（2025•湖北模拟）下列函数在区间，上单调递增的是
A．B．C．D．
5．（2025春•台州期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
6．（2025•鲤城区模拟）定义在的函数满足：，则的解集为
A．B．C．D．，，
7．（2025春•泉州期中）若其中为自然对数的底数），则，，的大小关系是
A．B．C．D．
8．（2025春•洛阳月考）若函数是增函数，则的取值范围是
A．，B．C．，D．
9．（2025春•开封期中）已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为
A．，B．C．D．，
10．（2025•新建区模拟）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围
A．B．，C．D．，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•济宁模拟）已知函数，则下列结论正确的是
A．的图象关于点对称
B．在上单调递减
C．若，则实数的取值范围是
D．若实数，满足，则的取值范围是，
（多选）12．（2025•阳西县模拟）已知函数
A．若在，上单调递增，则实数的取值范围是，
B．若在，上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，
C．当，在区间，上不单调，则实数的取值范围是，，
D．若的单调递减区间为，，则
（多选）13．（2025•济宁模拟）设函数，则
A．有三个零点
B．在区间上单调递减
C．点，为曲线的对称中心
D．当时，
（多选）14．（2025•安徽模拟）已知函数，则
A．当时，在区间，单调递增
B．当时，的极大值为
C．当，时，
D．若方程在区间有实数根，则的取值范围为，
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•元宝山区期中）若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ．
16．（2025春•天津月考）函数的单调区间是 ．
17．（2025春•佛山月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围为 ．
18．（2025•苏州三模）若在，上不单调，则实数的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2025•克东县模拟）已知函数．
（1）当时，求在，处的切线方程；
（2）讨论的单调性，并求最值．
20．（2025•西安模拟）已知函数，．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性；
（3）若，求证：当时，．
21．（2025春•启东市月考）已知函数．
（1）时，求在，处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
22．（2025•鲤城区模拟）已知函数．
（1）当，讨论的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
23．（2025•黄冈模拟）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
24．（2025春•邗江区期中）已知函数．
（1）若，求在，（1）处的切线方程；
（2）求的单调区间．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】先求出函数的导数，令导函数为0，求出的值，得到不等式解出的值即可．
【解答】解：函数的定义域为，所以即，
，令，得或（不在定义域内舍），
由于函数在区间内不是单调函数，所以，
即，解得：，
综上得，
故选：．
2．【答案】
【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：因为在上单调递增，
所以恒成立，
所以在上恒成立，
令，，
则，
因为，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故时，取得最大值（1），
所以，即，
所以的最小值为．
故选：．
3．【答案】
【分析】结合导数的几何意义即可求解．
【解答】解：根据导数几何意义可知，，，．
故选：．
4．【答案】
【分析】对，根据解析式判断单调性得解；对，，，求导，利用判断导数正负得解．
【解答】解：对于，的定义域为，，，在上单调递增，在上单调递增，故错误．
对于，在，上单调递减，不满足在，上单调递增，故错误．
对于，，满足在，上单调递增，故正确．
对于，在上单调递减，在上单调递增，故错误．
故选：．
5．【答案】
【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解．
【解答】解：函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因在区间上单调递减，则，
故，即实数的取值范围是，．
故选：．
6．【答案】
【分析】先构造新函数，对函数求导，根据得到函数的单调性，进而可求出结果．
【解答】解：设，则．
因为，又，所以，
所以函数在上单调递增，
又（1），所以当时，，即，此时，
当时，，即，此时，
因为，当时，有（1），
所以的解集是．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据题意变形得，，，构造函数，，求出的单调性可得，利用作差法可得，即可得出答案．
【解答】解：其中为自然对数的底数），
同时取对数得，
，，，
令，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
则（e），即，
又，
，
，，
，
在上单调递增，
，即，
，
．
故选：．
8．【答案】
【分析】由题意可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出对任意的恒成立，结合基本不等式可求得的取值范围．
【解答】解：，
因为是增函数，
所以，即在上恒成立，
所以，
又时，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，故实数的取值范围是，．
故选：．
9．【答案】
【分析】对函数求导，根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果．
【解答】解：易知函数的定义域为，那么求导可得导函数，
可知不等式在上有解，因此不等式在上有解，
那么，，所以．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据函数在区间上单调递减，可得在区间上恒成立，参变分离可得恒成立，令，通过求导判断单调性，求得其最小值即可．
【解答】解：根据，得导函数，
由于在上单调递减，
因此在上恒成立，
即，等价于恒成立，
令函数，那么导函数，
当时，恒成立，因此函数在上单调递增，
因此，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】选项，设，可判断是奇函数，进而可判断；
选项，求导可得，进而可判断；
选项，可化为，由单调性解不等式即可判断；
选项，由，可得，设，，利用辅助角公式即可求得，进而可判断．
【解答】解：对于选项，设函数，其定义域为，关于原点对称，
那么函数，
因此函数是奇函数，
而函数，的图象向上平移2个单位得到的图象，
因此函数的图象关于点对称，所以选项正确；
对于选项，对函数求导可得：
导函数，
其中，当且仅当，即时等号成立，
此时，因此导函数恒成立，
因此函数在上单调递增，所以选项错误；
对于选项，由于函数的图象关于点对称，因此．
那么不等式可化为，
又函数在上单调递增，因此，解得，所以选项正确；
对于选项，由于，，
因此可得，即．设，，
则（其中，
所以，所以选项正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】对于选项，由在，上单调递增，可得在，上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项：因为由在，上存在单调递减区间，可得在，上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项，当时，得出，根据在区间，上不单调，列出关于的不等式组
，求出实数的范围；对于选项，由的单调递减区间为，，可知是的一个根，即可求出．
【解答】解：由题意函数，
可得函数的定义域为，
求导可得．
对于选项：因为在，上单调递增，
所以在，上恒成立，即在，上恒成立，
对不等式进行参变量分离，可得在，上恒成立．
又因为二次函数在，上单调递增，
所以在，上，
所以，故选项正确．
对于选项：因为在，上存在单调递减区间，
所以在，上有解，即在，上有解，
分离出参数，可得在，上有解．
又因为二次函数在，上单调递增，
所以在，上，
所以，故选项错误．
对于选项：当时，．
令，解得．
因为在区间，上不单调，
所以导数在区间，上有极值点，
则，解得：，故选项错误．
对于选项：因为的单调递减区间为，，
所以是的一个根，即，
解得：，故选项正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性与极值，作出函数的图象，数形结合即可逐项判断．
【解答】解：函数，定义域为，，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为（1），
所以的大致图象如图所示：
由图可知有两个零点，故错误；
由以上分析可知正确；
由图可知函数关于点中心对称，故正确；
当时，与均为增函数，
所以（2）（1），故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】通过求导求出极值点并判断函数的单调区间与极大值，可判断的真假；分析函数在给定区间的单调性结合变量代换比较函数值的大小，可判断的真假；将方程根的存在性转化为函数取值范围问题，利用导数求极值确定参数范围，可判断的真假．
【解答】解：对于选项：当时，，
所以，
令，解得，
所以在，单调递增，故正确；
对于选项：当时，，
所以，
令，解得：，
，解得，
，解得，
所以在单调递增，在单调递减，
所以的极大值为（1），故错误；
对于选项：当时，，
所以，
令，解得，
，解得，
，解得，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，
所以，
所以，故正确；
对于选项：因为，即，
所以在区间有实数根，
即直线与曲线有交点，
令，，则，
令，解得：，
令，解得，
令，解得，
所以在单调递减，在单调递增，
故，当趋向1时，趋向，
所以当直线与曲线在区间有交点时，的取值范围为，，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】，．
【分析】先求函数的单调递减区间，再根据集合的包含关系求实数的取值范围．
【解答】解：由于，因此导函数．
根据或．
因此的单调减区间为和．
又由于在上单调递减，
因此或．
解得：．
故答案为：，．
16．【分析】求出函数的定义域和导数，利用符号，解不等式，即可得到函数的单调区间．
【解答】解：由，可得函数的定义域为，，
则函数的导数为，
由得，
解得，
即函数的单调递减区间，
由得，
解得或，
函数的增区间为，．
故答案为：函数的单调递减区间；函数的增区间为，．
17．【答案】，．
【分析】先对原函数求导，化成分式形式，由分母恒正，进而研究分子，分离参数求出参数取值范围即可．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，
其导数，
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为当时，（当且仅当时，等号成立），
所以，解得．所以的取值范围为，．
故答案为：，．
18．【答案】．
【分析】令，解得，依题意，得，解之即可得出实数的取值范围．
【解答】解：，
令，解得，
在，上不单调，
，
，
解得．
即实数的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）当时，在上单调递增，无最值；
当时，在，上单调递减，在，单调递增，
最小值为，没有最大值．
【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程；
（2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值．
【解答】解：（1）当时，，求导得：，
则，，
则在，处的切线方程：，即；
（2），
当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
当时，由，解得，
当时，，则在，上单调递减；
当时，，在，单调递增，
所以在有最小值，为，无最大值．
综上，当时，在上单调递增，无最值；
当时，在，上单调递减，在，单调递增，
最小值为，没有最大值．
20．【答案】（1）；
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明见解析．
【分析】（1）由导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解；
（2）对函数求导得．令，解得．对分和两类讨论的正负即可求解；
（3）构造函数，，利用导数研究函数的单调性与最值即可证明．
【解答】解：（1）当时，，则，
，又，
曲线在处的切线方程为，即．
（2），，，
令，即，
，，解得，
若，当时，，；当时，，，
在单调递减，在单调递增．
若，当时，，；当时，，，
在单调递减，在单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增．
（3）证明：当时，要证，即证．
令，，．
法一：．
由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，．
又，，在上单调递增，
，即，
当时，．
法二：令，，．
，，，，
在上单调递增，，
，在上单调递增，，即．
当时，．
21．【答案】（1）；
（2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增；
（3）．
【分析】（1）求得，，利用直线的点斜式方程可求得答案；
（2），当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，得；由得，进而可得；
（3）由转化为求，由（1）可知，构造（a），由导数可得（a），进而可得只有符合题意．
【解答】解：（1）时，，，
又，故，
在，处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，解得；由，解得，
在上单调递减，上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，上单调递增；
（3）由题意要使恒成立，只需即可．
由（1）可知，当时，在上单调递增，且，
当时，，不合题意，舍去；
当时，在上单调递减，上单调递增，
，
只需，即对于任意的恒成立即可．
令（a），则（a），
当时，（a），（a）在上单调递增；
当时，（a），（a）上单调递减；
（a）（1），
（a），
只有符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
22．【答案】（1）时，是增函数，时，在上单调递减，在上单调递增；
（2），．
【分析】（1）求导数，讨论导数的零点在定义域内的存在情况，即可得到原函数的单调区间；
（2）分离参数后，研究对应函数的最值即可．
【解答】解：（1）由已知得：，，
①当时，在上恒成立，为增函数；
②当时，由得：，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，时，是增函数，时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由得：，显然，
所以①，在上恒成立即可，
令，，，
再令，，
显然（1），且恒成立，所以在上递增，
所以，，
所以在上递减，在上递增，
所以（1），所以要使①式成立，只需即可，
所以实数的取值范围是，．
23．【答案】（1）；
（2）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明见解析．
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称．
【解答】解：（1）切点为．
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
（2）由题意可知，则的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）证明：函数，
函数的定义域为，，．
若存在，使得曲线关于直线对称，
则，，关于直线对称，所以，
由
．
可知曲线关于直线对称．
24．【答案】（1）；
（2）当时，的递增区间为，，递减区间为，，；
当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，，递减区间为，，；
当时，的递增区间为，递减区间为．
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间；
【解答】解：（1）若，则，
所以（1），又，
所以曲线在，（1）处的切线方程为，
即；
（2）由题意，函数的定义域为，
．
当时，令，得或，
①时，，，当时，，
当或时，，
所以的递增区间为，，递减区间为，，；
②时，，所以在上单调递减；
③当时，即，，
当时，，当或时，，
所以的递增区间为，，递减区间为，，；
当时，当时，，当时，，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上，当时，的递增区间为，，递减区间为，，；
当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，，递减区间为，，；
当时，的递增区间为，递减区间为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
B
B
A
A
C
B
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AD
BCD
ACD