2025届临夏回族自治州东乡族自治县高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2025届临夏回族自治州东乡族自治县高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共6页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如果，那么下列不等式成立的是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（ ）
A．B．C．或D．或4
2．已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A．4B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．
A．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势
B．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义
C．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降
D．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5
5．函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①B．①②C．②③D．①②③
6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
8．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（ ）
A．B．C．D．
11．若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为( )
A．2B．C．D．
12．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________
14．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.
16．在四棱锥中，是边长为的正三角形，为矩形，，.若四棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面.
（1）求线段的长；
（2）求二面角的余弦值.
18．（12分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.
（1）求证：平面平面BDE；
（2）求二面角B-EF-D的余弦值.
19．（12分）已知函数．
当时，求不等式的解集；
，，求a的取值范围．
20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切.
（1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程；
（2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值.
21．（12分）如图，设椭圆：，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程．
22．（10分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.
【详解】
分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.
本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.
2．D
【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由，得，由，得，当直线过点时，目标函数取得最大值，最大值为3；当直线过点时，目标函数取得最小值，最小值为3a；由条件得，所以，故选D.
考点：线性规划.
3．D
【解析】
设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，
写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.
【详解】
设 ，则
∵，
∴
∴
∴为点的轨迹方程
∴点的参数方程为（为参数）
则由向量的坐标表达式有：
又∵
∴
故选：D
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
4．B
【解析】
根据表格和折线统计图逐一判断即可.
【详解】
A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；
B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；
C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；
D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为,不正确；
故选：B
此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.
5．B
【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】
因为，
又，所以①正确.
，所以②正确.
将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.
所以①②正确，③错误.
故选:B
本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
6．C
【解析】
根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.
【详解】
依题意得，，
当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，
，即，
故选：C.
本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.
7．B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
8．C
【解析】
由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．
【详解】
解：，，且，
，化为：．
，解得．
．
故选：．
本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．D
【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.
【详解】
∵，∴，，，.
故选：D.
本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.
10．D
【解析】
利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.
【详解】
由
所以
，
所以原式
所以原式
故
故选：D
本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
11．C
【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为，故圆心到渐近线的距离等于1，即，
所以，.
故选：C.
本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题.
12．C
【解析】
根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；
对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；
对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；
对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.
故选：.
本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．4
【解析】
根据导数的运算，结合数列的通项公式的求法，求得，，，进而得到，再利用放缩法和取整函数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，函数，且，，
可得，
，
又由，可得为常数列，且，
数列表示首项为4，公差为2的等差数列，所以，
其中数列满足，
所以，
所以，
又由，
可得数列的前n项和为，
数列的前n项和为，
所以数列的前项和为，满足，
所以，即，
又由表示不超过实数的最大整数，所以.
故答案为：4.
本题主要考查了函数的导数的计算，以及等差数列的通项公式，累加法求解数列的通项公式，以及裂项法求数列的和的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
14．C
【解析】
根据确定是异面直线与所成的角，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】
由题意可得.因为，
所以是异面直线与所成的角，记为，
故.
故选：.
本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
15．9
【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.
【详解】
由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.
故答案为:.
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.
16．
【解析】
做 中点，的中点，连接，由已知条件可求出，运用余弦定理可求，从而在平面中建立坐标系，则以及的外接圆圆心为和长方形的外接圆圆心为在该平面坐标系的坐标可求，通过球心满足，即可求出的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.
【详解】
解：如图做 中点，的中点，连接 ，由题意知
，则
设的外接圆圆心为，则在直线上且
设长方形的外接圆圆心为，则在上且.设外接球的球心为
在 中，由余弦定理可知，.
在平面中，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，以过点垂直于 轴的直
线为 轴，如图建立坐标系，由题意知，在平面中且
设 ，则，因为，所以
解得.则
所以球的表面积为.
故答案为: .
本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）先证得，设与交于点，在中解直角三角形求得，由此求得的值.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）由题意，，
设与交于点，在中，可求得，则，
可求得，则
（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，
建立空间直角坐标系.
，，，
，，易得平面的法向量为.
，，易得平面的法向量为.
设二面角为，由图可知为锐角，所以
.
即二面角的余弦值为.
本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可.
【详解】
（1）∵平面ABCD，平面ABCD.
∴.
又∵底面ABCD是菱形，∴.
∵，∴平面BDE，
设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，
，，四边形OCFG是平行四边形
，平面BDE
∴平面BDE，
又因平面BEF，
∴平面平面BDE.
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系
∵BE与平面ABCD所成的角为，
，
，，，，.
，
设平面BEF的法向量为，，
，
设平面的法向量
设二面角的大小为.
.
本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
19．（1）； （2）.
【解析】
（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，
所以只需，
解得，
所以a的取值范围为．
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
20．（1）；（2）
【解析】
（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，再由圆心到直线的距离等于半径，可求得圆的普通方程，最后利用求得圆的极坐标方程.
（2）利用圆的参数方程以及辅助角公式，由此求得的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，求得三角形面积的最大值.
【详解】
（1）由题意得：，：
因为曲线和相切，所以，即：；
（2）设，
所以
所以当时，面积最大值为
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，属于中档题.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最小值为9，.
【解析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的，再由离心率可求得，从而得值，得标准方程；
（Ⅱ）设直线方程为，设，把直线方程代入抛物线方程，化为的一元二次方程，由韦达定理得，由弦长公式得，同理求得点的横坐标，于是可得，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值.
【详解】
（Ⅰ）∵椭圆：，
长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，
∴，
又∵椭圆的离心率是，∴，，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）过点的直线的方程设为，设，，
联立得，
∴，，
∴．
过且与直线垂直的直线设为，
联立得，
∴，故，
∴，
面积．
令，则，，
令，则，即时，面积最小，
即当时，面积的最小值为9，
此时直线的方程为．
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
22．（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】
（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得（n∈N*），
又因为，所以数列{an}是等比数列，且；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，
满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
金牌
（块）
银牌
（块）
铜牌
（块）
奖牌
总数
24
5
11
12
28
25
16
22
12
54
26
16
22
12
50
27
28
16
15
59
28
32
17
14
63
29
51
21
28
100
30
38
27
23
88