湖南省郴州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月期中联考试卷 数学（含解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册8.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则中的元素个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：
因为.
所以，有个元素．
2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：
解：复数满足，则，
即复数的虚部为，
故选：B.
3. 我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强（单位：）随高度（单位：）的变化满足指数衰减规律：，其中为海平面处的大气压强，k为常量．已知在高度为处，大气压强为海平面处的，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的，则当前高度约为（ ）
A. 150 kmB. 100 kmC. 175 kmD. 125 km
【答案】A
解析：
当时，，则，得.
由，得．
4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若⊥，m，则m⊥
C. 若m⊥，mn，n，则⊥D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥
【答案】C
解析：
平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；
当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误；
若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确；
＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线，
故不一定垂直于，故D错误．
5. 已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线l：x＋2y＝0垂直，且C的焦点到l的距离为，则C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：
因为双曲线C的一条渐近线与直线l垂直，所以，
又C的焦点到l的距离为，所以，所以，
因为，所以，故C的标准方程为．
6. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
由，得在区间上恒成立，
设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，
所以，则，即，则的取值范围是.
7. 已知平面向量满足，且，若向量满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：
由，且，可设．
设，因为，所以，
整理得，
即的轨迹是圆心为，半径为的圆．
的最小值即为原点到圆上的点的最短距离，等于圆心到原点的距离减去半径，
故的最小值为．

8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：
因为，所以．
因为，所以，
所以，所以．
因为，
所以，即，
所以．
因为是锐角三角形，，，
所以，即．
因为，
所以，所以．
因为，所以，
所以．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（ ）
A. 频率分布直方图中a的值为0.16
B. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时
C. 估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人
D. 估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时
【答案】ACD
解析：
由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确；
众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误；
因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确；
设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确．
10. 已知抛物线的焦点为，过作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，下列说法正确的有（ ）
A. 若直线的倾斜角为，则
B. 的最小值为8
C. 以线段为直径的圆恒与轴相切
D. 若为的准线与轴的交点，且，则直线的斜率为
【答案】ABC
解析：
对于A，抛物线的焦点为，若直线的倾斜角为，，则直线的方程为，
与抛物线的方程联立得，所以，
因为，所以，故A正确；
对于B，由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则，
因为，当时，等号成立，所以，最小值为8，故B正确；
对于C，以线段为直径的圆的圆心为的中点，横坐标为，则圆心到轴的距离为，
因为，所以圆的半径，则，因此该圆恒与轴相切，故C正确；
对于D，易知，若，则，，，
所以，
结合选项B的解析，可知，，，
代入得，解得，即直线垂直于轴，斜率不存在，故D错误．
11. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ）
A. 是周期为4的周期函数
B.
C. 在上单调递增
D. 的图象关于直线对称
【答案】ABD
解析：
因为是奇函数，所以．因为，所以，
所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确．
因为时，，所以，所以．
因为是定义在上的奇函数，
所以．因为的周期为4，所以．因为，所以，
所以，所以，故B正确．
因为，所以，即，
所以的图象关于直线对称，故D正确．
当时，，因为时，，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】
解析：
如图，连接．
因为，所以异面直线与所成的角即与所成的角.
即∠,因为，＝1.
所以，．
所以．
13. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为______．
【答案】
解析：
，
则图象向右平移个单位长度后的图象的解析式为：
，
已知关于y轴对称，
，解得，
，
的最小值为．
14. 设正整数，其中，或（，，，），记．若且，则满足题意的共有______个．
【答案】792
解析：
正整数，其中，或，为的二进制表示形式.
表示二进制中1的个数，要求且.
因为，所以的二进制最多有13位（从到）.
要满足，即二进制中恰好有5个1，且，即最高位为1.
当二进制为5位时：最高位固定为1，剩余4位全为1，共个；
当二进制为6位时：最高位固定为1，剩余5位选4个为1，共个；
当二进制为7位时：最高位固定为1，剩余6位选4个为1，共个；
当二进制为8位时：最高位固定为1，剩余7位选4个为1，共个；
当二进制为9位时：最高位固定为1，剩余8位选4个为1，共个；
当二进制为10位时：最高位固定为1，剩余9位选4个为1，共个；
当二进制为11位时：最高位固定为1，剩余10位选4个为1，共个；
当二进制为12位时：最高位固定为1，剩余11位选4个为1，共个；
当二进制为13位时，最高位固定为1，此时4096化为二进制为1000000000000，只有1个1，不满足，排除.
所以满足题意的共有个.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和，并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析.
解析：
（1）
设等差数列的公差为d．因为，
所以解得
所以的通项公式为．
（2）
由（1）知．
因为，
所以
因为，所以．
16. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点.
（1）证明：平面．
（2）设点在线段上运动，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
解析：
（1）
连接，交于点，连接.
因为底面是菱形，所以互相平分，即为的中点.
因为为的中点，所以在中，是中位线，即.
因为平面平面，所以平面.
（2）
以为坐标原点，的方向分别为$x，z$轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意可得，.
设平面的法向量为.
因为，
所以令，则.
设，则.
设平面的法向量为，
则
令，则.
若平面平面，
则，解得.
故存在点，使得平面平面，此时线段的长度为.
17. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的标准方程；
（2）设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，恒过定点
解析：
（1）
因为离心率，所以.
因为，所以，所以的方程可写为.
因为过点，所以，解得，因此，
所以的标准方程为.
（2）
由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点.
设直线的方程为，与的方程联立，
消去得，
由，解得.
设，则.
直线的方程为，令，可得.
因为，
所以
故直线恒过定点.
18. 某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立.
（1）记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点.
（2）已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟.
（i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求；
（ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小.
参考数据：.
【答案】（1）
（2）（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小.
解析：
（1）
由题意可得，
因此.
令，且，得，
当时，，当时，，
所以的极大值点.
（2）
（i）若不需启动“全员补答”，
则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训.
答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分），
总时间成本分钟（确定值），故.
（ii）若启动“全员补答”，
则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7.
设剩余10人答对的题数为，则.
设团队的最终得分为，则，
若，则，
而
，
答题时间为分钟，
培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训.
总时间成本的数学期望分钟.
因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟，
所以（ii）中的总时间成本的期望更小.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）证明：无零点.
（3）若函数，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
解析：
（1）
函数，求导得，则，而，
所以所求的切线方程为，即.
（2）
函数的定义域为，设，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此，即，则恒成立，
所以函数无零点.
（3）
依题意，函数的定义域为，
不等式
，由（2）得，则，
令，则，令函数，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，因此，
则，所以.