景洪市2025年高三第一次调研测试数学试卷含解析

这是一份景洪市2025年高三第一次调研测试数学试卷含解析，共14页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设，，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）
A．2B．-2C．D．
2．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
4．设，，则“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( )
A．B．C．D．
6．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，那么该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．若为虚数单位，则复数，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( )
A．B．C．D．
10．设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．已知a，b∈R，，则（ ）
A．b＝3aB．b＝6aC．b＝9aD．b＝12a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．
14．已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，则双曲线的焦距为______.
15．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.
16．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.
注:若，则，，.
18．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
19．（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .
（1）求点的坐标；
（2）求的取值范围.
21．（12分）已知等差数列中，，数列的前项和.
（1）求；
（2）若，求的前项和.
22．（10分）的内角，，的对边分别是，，，已知.
（1）求角；
（2）若，，求的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．
【详解】
，
，得，．
．
故选：．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
2．D
【解析】
由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，
可知为的三等分点，且,
点在直线上，并且，则，，
设，则，
解得，即，
代入双曲线的方程可得，解得，故选D．
点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．
3．A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
4．A
【解析】
根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.
【详解】
若， ，则，可得；
若，可得，无法得到，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
所以本题答案为A.
本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：
① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④ 若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.
⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.
5．C
【解析】
由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.
【详解】
由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，
故选C
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.
6．B
【解析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.
【详解】
解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：
可知点,，
在处有最小值，最小值为.
故选：B.
本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.
7．A
【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点，求出，由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为，由焦半径公式，联立求解.
【详解】
解：由抛物线，可得，则，故其准线方程为，
抛物线的准线过双曲线的左焦点，
．
抛物线的准线被双曲线截得的线段长为，
，又，
，
则双曲线的离心率为．
故选：．
本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率. 弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
8．B
【解析】
首先根据特殊角的三角函数值将复数化为，求出，再利用复数的几何意义即可求解.
【详解】
，
，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B
本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.
9．D
【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积.
【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.
故选：D
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.
10．B
【解析】
画出函数图像，根据图像知：，，，计算得到答案.
【详解】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：，，故，且.
故.
故选：.
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.
11．A
【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
12．C
【解析】
两复数相等，实部与虚部对应相等.
【详解】
由，
得，即a，b＝1．
∴b＝9a．
故选：C．
本题考查复数的概念，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解
【详解】
设圆柱的轴截面的边长为x，
则由，得，
∴．
故答案为：
本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
14．1
【解析】
由双曲线的渐近线，以及求得的值即可得答案．
【详解】
由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为，
所以，即①，
把代入，得，即②
又③
联立①②③，得．
所以．
故答案是：1．
本题考查双曲线的性质，注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即，容易只计算到，就得到结论．
15．3000
【解析】
根据正态曲线的对称性求出，进而可求出身高高于的高中男生人数.
【详解】
解：全市30000名高中男生的身高（单位：）服从正态分布，且，
则，
该市身高高于的高中男生人数大约为.
故答案为：.
本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.
16．(或写成)
【解析】
试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为
考点：函数最值，函数单调区间
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；
（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；
（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；
【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.
因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.
所以
.
（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
由（Ⅰ）可知，得.
（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.
由题有，所以.
因此的分布列为
.
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
18．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；
（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.
【详解】
（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：
因为，分别是线段和的中点，
所以是梯形的中位线，所以.
又，所以.
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以，.
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）因为，且平面，
故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
如下图所示：
不妨设，则，
所以，，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则所以
可取.
设直线与平面所成的角为，
则.
故可得直线与平面所成的角的正弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）过点交于点，连接，如下图所示：
因为平面平面，且交线为,
又四边形为正方形，故可得，
故可得平面，又平面，
故可得.
在三角形中，因为为中点，，
故可得//，为中点；
又因为四边形为等腰梯形，是的中点，
故可得//；
又，
且平面，平面,
故面面，
又因为平面，
故面.即证.
（2）连接，，作交于点，
由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，
则；
又因为//，，故可得
即，，两两垂直，
则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，，，
，，
设面的法向量为，则，，
则，
可取，
设平面的法向量为，则，，
则，
可取，
可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
.
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）设出的坐标，代入，结合在抛物线上，求得两点的横坐标，进而求得点的坐标.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】
（1）可知，
设
则，
又，
所以
解得
所以.
（2）据题意，直线的斜率必不为
所以设将直线方程代入椭圆的方程中，
整理得，
设
则①
②
因为
所以且
将①式平方除以②式得
所以
又解得
又，
所以
令，
则
所以
本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.
21．（1），；（2）.
【解析】
（1）由条件得出方程组 ，可求得的通项，当时，，可得，当时，，得出是以1为首项，2为公比的等比数列，可求得的通项；
（2）由（1）可知，，分n为偶数和n为奇数分别求得.
【详解】
（1）由条件知， ，，
当时，，即，
当时，，
是以1为首项，2为公比的等比数列， ；
（2）由（1）可知，，
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上，
本题考查等差数列和等比数列的通项的求得，以及其前n项和，注意分n为偶数和n为奇数两种情况分别求得其数列的和，属于中档题.
22．（1）
（2）
【解析】
（1）利用余弦定理可求，从而得到的值.
（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得，得到值后利用面积公式可求.
【详解】
（1）由，得.
所以由余弦定理，得.
又因为，所以.
（2）由，得.
由正弦定理，得，因为，所以.
又因，所以.
所以的面积.
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.