江西师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第二次素养测试数学试题解析版

这是一份江西师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期第二次素养测试数学试题解析版，共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 下列函数中是奇函数且周期为的函数为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A ：函数的最小正周期为，函数为奇函数，A错误；
对于B：函数为奇函数，最小正周期为，B正确；
对于C ：的定义域为，关于原点对称，又，
所以为偶函数，且最小正周期为，C错误；
对于D：函数的定义域为，关于原点对称，又，
所以为偶函数，最小正周期为，D错误.
2. 为得到的图象，只要把的图象上所有的点
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】C
【解析】把的图象上所有的点先向右平移个单位长度，得，
再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得.
3.已知向量.若三点共线，则
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】若，，三点共线，则向量与共线，
因为，，
由共线条件可得：，
化简可得：，求解得： .
4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，
得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为，
所以小轮每秒转过的弧长是.
5.将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到新的图象．已知这个新的图象关于原点中心对称，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】．
设图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则．
因为函数的图象关于原点中心对称，所以，即，即.
所以，即．
当时，有；因此时，取得最小值.
6.如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由及点共线，得，
而，因此，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
7.设，，，则有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
，
，
由在的单调性可知：.
8.已知，，则的最大值为
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】解法
设，则，即
.
解法2：
，记，则
则.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知是边长为的正三角形，该三角形重心为点，点为所在平面内任一点，下列等式一定成立的是
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】设的三边中点分别为，，，则，
所以，A选项错误；
成立，B选项正确；
由点为三角形重心，可知，所以，C选项正确；
，所以，D选项正确.
10.已知函数（，）的部分图象如图所示，其中，，则下列命题正确的是
A. 函数在上单调递减
B. 将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称
C. 当时，
D. 函数的一个对称中心为
【答案】BD
【解析】由图可知，得，得，
所以，
因为的图象过，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
对于A，由，得，则，
因为在上不单调，
所以在上也不单调，所以A错误，
对于B，将函数的图象向右平移个单位长度后，得
，
因为为偶函数，所以其图象关于轴对称，所以B正确，
对于C，当时，，则，
所以，即，
所以，即，所以C错误，
对于D，因为，所以函数的一个对称中心为，所以D正确.
11.已知函数，则
A. 的图象关于轴对称B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减D. 的值域为
【答案】ABD
【解析】对于选项A，对于任意的，，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确；
对于选项B，因为，的最小正周期均为，故的最小正周期是，故B正确；
对于选项C，
当时，，令，，，
因为在上单调递减，而在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误；
对于选项D，时，，
，即；
时，，
，即，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知，则的值是________.
【答案】
【解析】由于，整理得：，
即：，则：，则： .
13.函数在的零点个数为_______.
【答案】7
【解析】由和差化积公式得到，，
令，则，即或，
当时，得到，,即 ,
因为，所以共7个；
当时，得到，，即，，
因为，所以共1个；
合并两组解，得到：共7个不同的零点；
所以函数在的零点个数为7个 .
14.已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（1）已知，，其中，.求角的值.
（2）求值： .
【解析】（1）因为且，可得，
所以
则，
因为，可得，
又因为，
所以，可得，所以，
所以.
（2），则，
则原式
.
16.已知函数.
（1）求函数的最小正周期与单调递增区间；
（2）若方程在上的解为，，求.
【解析】(1)由题意可知，
，
所以函数的最小正周期，
令，
得，
则函数的单调递增区间为 .
(2)，令，则，
所以，，
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，，
设为与的两交点的横坐标，则，
因为方程在上的解为，
所以，
即，即，
.
17.设函数.
（1）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（2）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围.
【解析】
(1) 令，，.
可转化为.
函数的对称轴为.
当，即时，，由，可得.
当，即时，，
当时，，由，得；
当时，，由，得.
当，即时，，由，得.
综上，的取值范围是 .
(2)由得，令，方程变形为.
因为方程在上有四个不相等的实数根，所以方程在上有两个不相等的实数根.
记，则
Δ=(2a)2−4(−a+1)>0−10，解得.
故的取值范围是 .
18.随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
【解析】 (1) 图1中：在中，，，，又，
则(m)，而m，有(m)，
在中，，，，
则(m)，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m，
所以限定高度的值约为2.8m.
(2) ①图2中：依题意，则，，，，
又，设，
，；
②由①知，设，则，，，
则，
而，函数在上单调递增，则在上是减函数，
于是得当，即时，，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
19.以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题：
证明：．
为了将该问题进行拓展探究，定义函数．例如，方程可表示为．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求不等式的解集；
（3）是否存在正数，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.
【解析】 (1) 因为，
所以，
令，解得，
又的定义域为，
所以的单调递减区间为.
(2)因为，且，
所以，所以，
所以，即．
（i）当时，其中、，
即，解得．
（ii）当时，即，
得，其中、，
解得．
综上，原不等式的解集为或.
(3)因为，所以，
所以，
所以①，或②．
对于方程①，
若，则，方程①不成立，
所以，所以对于任意恒成立，所以，
所以．
对于方程②，
（i）若，则，
当为奇数，，方程②无解．
（ii）若，则对于任意，所以，所以．
（iii）若，则对于任意，所以，
所以．
（iv）若，则，
所以且，
所以，
因此方程②无解．
综上，原方程的解为或或．
所以存在，对于任意，关于的方程在区间至少有三个不同实数根，正数的最小值为 .