福建省漳州市2025-2026学年下学期高三高考数学考前模拟练习卷含答案

这是一份福建省漳州市2025-2026学年下学期高三高考数学考前模拟练习卷含答案，共9页。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1 已知复数 z=21+i+1−i ,则 z= ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
2. 已知集合 A={2,3,4,5},B={5,6} ,则满足 S⊆A 且 S∩B≠⌀ 的集合 S 的个数为 ( )
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
3. 在 3x−24 的展开式中,常数项为 ( )
A. -16 B. 16 C. -24 D. 24
4. 已知函数 fx=lg2x−x+1 ,则不等式 fx>0 的解集为 ( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 0,2 D. 0,1∪2,+∞
5. 已知 an 是公差不为 0 的等差数列,则 “ m+n=p+q ” 是 “ am+an=ap+aq ” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在 △ABC 中, D 为边 BC 的中点, M 为线段 AD 的中点,过点 M 的直线分别与直线 AB,AC 交于 E , F 两点,若 AE=25AB,AF=λAC ,则 λ 的值为 ( )
A. 13 B. 12 C. 35 D. 23
7. 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点, M 为 C 上一点 (点 M 位于第一象限),满足 MF1⊥MF2 ,直线 MF2 与 C 的一条渐近线 bx+ay=0 平行,则 C 的离心率为 ( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
8. 已知函数 fx=lnx+ex−1 ,对任意 k∈R ,函数 gx=fx−kx−b 有唯一零点,则 b 的取值范围是 ( )
A. [−1,+∞) B. −1,+∞
C. −∞,−1 D. (−∞,−1]
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 有一组不全相同的样本数据 x1,x2,x3,⋯,xn ,记为甲,由这组数据得到新样本数据 2x1+1,2x2+ 1,2x3+1,⋯,2xn+1 ,记为乙,则 ( )
A. 乙的平均数大于甲的平均数 B. 乙的方差大于甲的方差
C. 乙的极差是甲的极差的两倍 D. 乙的中位数大于甲的中位数
10. 已知函数 fx=sinx+csx2−sinx−csx2 ,则 ( )
A. fx 的最小正周期为 2π
B. fx+π4 为偶函数
C. fx 的最大值为 1
D. fx+32=0 在 0,2π 内有四个不同的实数解
11. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,M 为正方体内 (含正方体的表面) 的动点,则下列结论正确的有 ( )
A. 若 BM=2 ，则 D1M 的最小值为 3−1
B. 若 BM=2 ,则点 M 在正方体表面形成的轨迹长度为 3π2
C. 若 M∈B1C ,则过点 B,D1,M 的平面截正方体所得的截面周长的最小值为 25
D. 若点 A,C,B1,D1 分别落在四个互相平行的平面内,且每相邻平面间距离均相等,则该距离为 55
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 fx=aex+e−x⋅sinx 是偶函数，则实数 a 的值为_____.
13. 设 P 为直线 x+y+2=0 上一动点,过点 P 作圆 C:x−22+y2=4 的切线,切点分别为 A,B , 则四边形 PACB 的面积的最小值为_____.
14. A 与 B 二人进行“抽鬼牌”游戏,游戏开始时, A 手中有 n 张两两不同的牌, B 手上有 n+1 张牌,其中 n 张牌与 A 手中的牌相同,另一张为 “鬼牌”,与其他所有牌都不同. 游戏规则为:
(I)双方交替从对方手中随机抽取一张牌， A 先从 B 手中抽取；
(II)若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；
(II)最后剩一张牌(鬼牌)时,持有鬼牌的玩家为输家.
记 A 手中有 n 张牌, B 手中有 n+1 张牌时, A 获胜的概率为 Pn ,则 P2 的值为_____； P2025 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (13 分) 如图,正三棱柱 ABC−A1B1C1 的所有棱长均为 2,D 为 AB 的中点.
(1)求证: BC1// 平面 A1CD .
(2)点P为线段 BC1 的中点,求直线 AP 与平面 A1CD 所成角的正弦值.
16. (15分)已知在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，有 bcs2A+2acsAcsB=0 .
(1)若 a=3 ，求 c .
(2)若 D 为边 BC 上的点，且 BD=2DC ，求 cs∠BAD 的最小值.
17. (15分)已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，当直线倾斜角为 60∘ 时, AB=8 .
(1)求抛物线 C 的标准方程.
(2) O 为坐标原点,直线 OA,OB 分别交抛物线的准线于 P,Q 两点. 证明:以线段 PQ 为直径的圆过定点.
18. (17分)已知函数 fx=alnx+1a,a>0 .
(1)当 a=1 时,求曲线 y=fx 在 0,f0 处的切线方程.
(2)若不等式 fx≤x 恒成立，求 a 的最小值.
(3)是否存在实数 k ，使得只有唯一的 a ，当 x>0 时， fx≤kx 恒成立？若存在，求 k ， a 的值，若不存在,请说明理由.
19.(17分)(1)已知 csθ=x ，求 cs2θ 和 cs3θ .
(2)记 a=sin2π5,b=sin22π5 .
(1)证明: a+b 与 ab 都是有理数.
(II) 设 n∈N∗ ,若存在正整数数列 kn ,使得 An=kn2 ,则称数列 An 是优美的. 记 xn=1an+1bn . a+bn . 证明: 数列 5xn2−4×5n+1 是优美的.
参考答案
1. D 因为 z=21+i+1−i=21−i2+ 1−i=2−2i ,所以 z=4+4=22 .
故选 D.
2. C 因为 S⊆A 且 S∩B≠⌀ ,所以 5∈S , 因此只需考虑集合 {2,3,4} 的子集个数即可, 共8个. 故选C.
3. B设 3x=y ，则 3x−24 与 y−24 的展开式中常数项相同,故只需令 y=0 即可,
即常数项为 16 .
故选B.
4. B 注意到 f1=f2=0 ,因此将 fx> 0 转化为 lg2x>x−1 ,函数 y=lg2′x 的图象与直线 y=x−1 有且仅有两个交点 1,0,2,1 ,结合图象可知 10 ,则乙组数据的方差为 4s2 ,所以 4s2>s2 ,故 B 正确;
对于 C ,不妨设甲组数据的最小值和最大值分别为 x1,xn ,则甲组数据的极差为 xn−x1>0 ,
乙组数据的最小值和最大值分别为 2x1+1 , 2xn+1 ,所以乙组数据的极差为 2xn−x1 ,
故 C 正确;
对于 D ,由甲到乙的变化过程不改变数据的大小位置关系,不妨设甲组数据的中位数为 xl ,
则乙组数据的中位数为 2xl+1 , 当 xt≤−1 时, xt≥2xt+1 ,故 D 错误. 故选BC.
10. ABD fx=sinx+csx2− sinx−csx2=sinx,sinx≤csx,csx,sinx>csx= min{sin.x,cs.x}, 如图，作出 y=sinx 和 y=csx 的图象， 取位于下方的部分即可:

由图可知, Λ 正确, B 正确, C 错误.
因为 y=sinx 与 y=csx 的图象在 π2,2π 内的交点坐标为 5π4,−22 ,而 −10 的焦
点 Fp2,0 ,所以直线 AB 的方程为 y=3x−p2
联立 y=3x−p2,y2=2px, 得 3x−p22=2px ,
即 3x2−5px+3p24=0 ,
由根与系数关系得, x1+x2=53p ,
所以 AB=x1+x2+p=83p=8 ,所以 p=3 ,
故抛物线 C 的标准方程为 y2=6x .
(2)证明:由(1)知，焦点 F32,0 ，
准线方程为 x=−32 .
设过 F32,0 的直线 l 的方程为 x=my+32 ,
Ax1,y1,Bx2,y2 ,联立得, x=my+32,y2=6x,
整理得, y2−6my−9=0 ,所以 y1+y2=6m ,
y1y2=−9 ,因为直线 OA 的方程为 y=y1x1x ,
所以 P−32,−32y1my1+32 ,
同理可得, Q−32,−32y2my2+32 .
以 PQ 为直径的圆的方程满足,对圆上任意一点
Sx,y ,均有 PS⋅QS=x+322+
y+32y1my1+32y+32y2my2+32=0 ,由对称性
可知,该圆所过定点在 x 轴上,设定点为 x0,0 ,
所以 x0+322=−94y1y2my1+32my2+32=
94×9m2y1y2+32my1+y2+94=9,
所以 x0+32=±3 ,即 x0=32 或 x0=−92 .
因此以线段 PQ 为直径的圆恒过定点 32,0 和
−92,0 .
18.(1) 当 a=1 时, fx=lnx+1 ,
所以 f0=0 .
因为 f′x=1x+1 ,所以 f′0=1 ,所以曲线 y=fx 在 0,f0 处的切线方程为 y=x .
( 2 )由题意可知 alnx+1a≤x 恒成立，
设 gx=x−alnx+1a ,
因为 g0=−aln1a≥0 ,所以 lna≥0 ,
解得 a≥1 .
当 a=1 时, gx=x−lnx+1 ,
g′x=1−1x+1=xx+1,
所以 gx 在 −1,0 上单调递减,在 0,+∞ 上单调递增.
所以 gx≥g0=0 ,不等式成立, 所以 a 的最小值为 1 .
(3)存在,由题意可知 fx≤kx⇔kxa−
lnx+1a≥0 ,令 x=1 ,可知 k>0 .
令 ℎx=kxa−lnx+1ax>0 ,
ℎ′x=ka−aax+1=akx−a2+kaax+1,
由于 ℎ′x0=0⇔x0=a2−kak .
① 当 0k ,使得 φa≤1 ,故只能 φamin=1 . φ′a=1a−2ka3=a2−2ka3,φ′a0=0⇔a0=2k, a∈0,a0 时, φ′a0 ,函数 y=φa 在区间 a0,+∞ 上为增函数,
φamin=φa0=12+ln2k=1⇔k=2e,
故此时 a 只有唯一值 2ee .
② 当 k≥a2 时，则 ℎ′x=ka−aax+1>0 ， 则函数 y=ℎ.r 为增函数, limx→0ℎx=lna≥0 , 解得 a≥1 ,故 k≥1 .
(1) 当 k>1 给定时,满足 1≤a≤k 的 a 不唯一;
(II) 当 k=1 时,满足 k≥a2 的 a=1 .
但 a=2 时,满足 k52n−1,
2x2−5x1>0 ,所以 2xn+1−5xn 为正整数.
因此存在 kn=2xn+1−5xn∈N∗ ,
使得 5xn2−4×5n+1=kn2 .
综上,数列 5xn2−4×5n+1 是优美的.