2025年静乐县高三下第一次测试数学试题含解析

这是一份2025年静乐县高三下第一次测试数学试题含解析，共10页。试卷主要包含了tan570°=，已知若为纯虚数，则a的值为，已知向量，，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．5B．C．13D．
3．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
4．tan570°=（ ）
A．B．-C．D．
5．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24B．36C．48D．64
6．已知若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a的值为 （ ）
A．B．C．D．
7．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．-8D．8
8．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ）
A．0B．C．D．
9．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（ ）

A．B．C．D．
10．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的的值为1，输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）
A．134B．67C．182D．108
12．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线在点处的切线方程是__________.
14．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.
15．函数的最小正周期是_______________，单调递增区间是__________.
16．设数列的前n项和为，且，若，则______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点．求证：直线过定点并求出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围．
18．（12分）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，对，恒有成立，求实数的最小值.
19．（12分）如图，平面四边形为直角梯形，，，，将绕着翻折到.
（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；
（2）当平面与平面所成的锐二面角大小为时，求与平面所成角的正弦.
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，将曲线经过伸缩变换后得到曲线.在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点是曲线上的任意一点，又直线上有两点和，且，又点的极角为，点的极角为锐角.求：
①点的极角；
②面积的取值范围.
21．（12分）已知椭圆 的焦距为，斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过左焦点斜率为的直线与椭圆交于点为椭圆上一点，且满足，问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，说明理由.
22．（10分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙．
（1）求丙的高度小于厘米的概率；
（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.
【详解】
双曲线的渐近线方程为，由题意可得，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
先化简复数，再求，最后求即可.
【详解】
解：，
，
故选：C
考查复数的运算，是基础题.
3．B
【解析】
化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B
4．A
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．
故选：A．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
5．B
【解析】
根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.
【详解】
当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.
故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.
6．A
【解析】
根据复数的乘法运算法则化简可得，根据纯虚数的概念可得结果.
【详解】
由题可知原式为，该复数为纯虚数，
所以.
故选：A
本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.
7．B
【解析】
先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.
【详解】
由向量，，
则，
，
又，则，解得.
故选：B
本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.
8．C
【解析】
试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．
解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，
∵y=-x-在区间上是增函数
∴
∴a≥-
∴a的最小值为-故答案为C．
考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
9．B
【解析】
列出循环的每一步，由此可得出输出的值.
【详解】
由题意可得：输入，，，；
第一次循环，，，，继续循环；
第二次循环，，，，继续循环；
第三次循环，，，，跳出循环；
输出.
故选：B.
本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.
10．B
【解析】
根据循环语句，输入，执行循环语句即可计算出结果.
【详解】
输入，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第次循环：，，不满足判断条件；
第次循环：，，不满足判断条件；
第次循环：，，满足判断条件；输出结果.
故选：
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.
11．B
【解析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.
【详解】
解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，
则小正方形的边长为，小正方形的面积，
则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为
，
故选：B.
本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.
12．C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用导数的几何意义计算即可.
【详解】
由已知，，所以，又，
所以切线方程为，即.
故答案为：
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.
14．（1），；（2），.
【解析】
（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；
（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.
【详解】
（1）直线的普通方程为.
在曲线的参数方程中，，
所以曲线的普通方程为.
（2）设点.
点到直线的距离.
当时，，所以点到直线的距离的最小值为.
此时点的坐标为.
本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.
15． ，，
【解析】
化简函数的解析式，利用余弦函数的图象和性质求解即可．
【详解】
函数，
最小正周期，
令，，可得，，
所以单调递增区间是，，．
故答案为：，，，．
本题主要考查了二倍角的公式的应用，余弦函数的图象与性质，属于中档题．
16．9
【解析】
用换中的n，得，作差可得，从而数列是等比数列，再由即可得到答案.
【详解】
由，得，两式相减，得，
即；又，解得，所以数列为首项为-3、
公比为3的等比数列，所以.
故答案为：9.
本题考查已知与的关系求数列通项的问题，要注意n的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）证明详见解析，；（3）.
【解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.
(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程, 进而求得的方程,并代入,化简分析即可.
(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.
【详解】
解：设椭圆的标准方程焦距为,
由题意得,
由,可得
则,
所以椭圆的标准方程为；
证明：根据对称性,直线过的定点一定在轴上,
由题意可知直线的斜率存在,
设直线的方程为,
联立,消去得到,
设点,
则．
所以,
所以的方程为,
令得,
将,代入上式并整理,
,
整理得,
所以,直线与轴相交于定点．
当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,
此时,
当过点的直线斜率存在时,
设直线的方程为,且在椭圆上,
联立方程组,
消去,整理得,
则．
所以
所以,
所以,
由得,
综上可得,的取值范围是．
本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.
18．（1）（2）
【解析】
（1）求得，根据已知条件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分离常数法求得的取值范围.
（2）构造函数设，利用求二阶导数的方法，结合恒成立，求得的取值范围，由此求得的最小值.
【详解】
（1）
因为在上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
当时，上式成立，
当，有，需，
而，，，，故
综上，实数的取值范围是
（2）设，，则，
令，
，在单调递增，也就是在单调递增，
所以.
当即时，，不符合；
当即时，，符合
当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合
综上得，，实数的最小值为
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理可推导出，然后利用平行线分线段成比例定理可求得的值；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接，推导出，，可得出为平面与平面所成的锐二面角，由此计算出、，并证明出平面，可得出直线与平面所成的角为，进而可求得与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，，
在梯形中，，则，，
，，所以，；
（2）取中点，连接、，过点作，则，作于，连接.

为的中点，且，，且，
所以，四边形为平行四边形，由于，，
，，，，，
为的中点，所以，，，同理，
，，，平面，
，，，为面与面所成的锐二面角，
，
，，，则，
，，
平面，平面，，
，，面，
为与底面所成的角，
，，.
在中，.
因此，与平面所成角的正弦值为.
本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．（1）曲线为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为（2）①②
【解析】
（1）求得曲线伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将的极角代入直线的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得，进而求得，从而求得点的极角.
②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点到直线的距离的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得面积的取值范围.
解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
因为则曲线的参数方程
所以的普通方程为.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.
所以的极坐标方程为，即.
（2）①点的极角为，代入直线的极坐标方程得点
极径为，且，所以为等腰三角形，
又直线的普通方程为，
又点的极角为锐角，所以，所以，
所以点的极角为.
②解法1：直线的普通方程为.
曲线上的点到直线的距离
.
当，即（）时，
取到最小值为.
当，即（）时，
取到最大值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
解法2：直线的普通方程为.
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，
因为，所以圆与直线相离.
所以圆上的点到直线的距离最大值为，
最小值为.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
本小题考查坐标变换，极径与极角；直线，圆的极坐标方程，圆的参数方程，直线的极坐标方程与普通方程，点到直线的距离等.考查数学运算能力，包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、运算结果的检验与改进等.也兼考了数学抽象素养、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
21． (1) .
(2) 为定值.过程见解析.
【解析】
分析：（1）焦距说明，用点差法可得＝.这样可解得，得椭圆方程；
（2）若，这种特殊情形可直接求得，在时，直线方程为，设，把直线方程代入椭圆方程，后可得，然后由纺长公式计算出弦长，同时直线方程为，代入椭圆方程可得点坐标，从而计算出，最后计算即可.
详解：（1）由题意可知，设，代入椭圆可得：
，两式相减并整理可得，
，即.
又因为，，代入上式可得，.
又，所以，
故椭圆的方程为.
（2）由题意可知，，当为长轴时，为短半轴，此时
；
否则，可设直线的方程为，联立，消可得，
，
则有：，
所以
设直线方程为，联立，根据对称性，
不妨得，
所以.
故，
综上所述，为定值.
点睛：设直线与椭圆相交于两点，的中点为，则有，证明方法是点差法：即把点坐标代入椭圆方程得，，两式相减，结合斜率公式可得.
22．（1）；（2）；（3）．
【解析】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、，可得出.
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，可得，且、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；
（3）根据题意直接判断和的大小即可.
【详解】
设事件为“甲是组的第株植物”，事件为“乙是组的第株植物”，事件为“丙是组的第株植物”，、、、．
由题意可知，、、、．
（1）设事件为“丙的高度小于厘米”，由题意知，
又与互斥，所以事件的概率；
（2）设事件为“甲的高度大于乙的高度”．
由题意知．
所以事件的概率
；
（3）.
本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．
组
组
组