浙江省 精 诚 联 盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题 含解析

这是一份浙江省 精 诚 联 盟2026届高三下学期第二次模拟练习数学试题 含解析，共7页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷， 已知 ，则 的最小值为， 已知双曲线 等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，请在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上的规定区域内，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符
合题目要求.）
1. 已知复数 ， ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由复数除法求 ，再由虚部概念确定答案.
【详解】 ，所以复数 的虚部为 ，故选 A.
2. 已知全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题 ， ，
所以 .
3. 已知 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ，
由 ，所以 ，故 ，充分性成立，
由 ，得 或 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
4. 已知函数 若 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】当 时， ，即 解得 或 （舍），
当 时， ，即 ， ，
方程无实数解，综上 .
5. 从数字 0，1，2，3，4 中任取 3 个构成的无重复数字的 3 位数，其中能被 3 整除的偶数共有（ ）
A. 13 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 18 个
【答案】A
【解析】
【详解】满足条件的 3 位数可由 或 或 或 构成，
由 构成的偶数有 个；由 构成的偶数有 个；
由 构成的偶数有 个；由 构成的偶数有 个.
故共有 个.
6. 已知三棱锥 的外接球 的半径为 2，底面 是边长为 3 的正三角形， ，若
球心 在三棱锥 的内部，则该三棱锥的体积为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理求得 的外接圆半径，结合三棱锥的高建立勾股关系，进而可求三棱锥的体积.
【详解】 的外接圆半径 ，又三棱锥 的外接球半径 ，
设该三棱锥的高为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以三棱锥的体积 .
7. 已知 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 5 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.
【详解】因为 ，所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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所以 的最小值为 .
8. 记 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，且 ， ，则 的形状
为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】应用正弦定理得出 ，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断
形状.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，又 ，故 ，
由余弦定理得 ，故 ，
得 ，所以 ，
得 ，
所以 ， 或 ， ，所以 为钝角三角形.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.）
9. 已知函数 在一个周期 内的图象如图所示，且
，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. ， D. 的图象关于点 对称
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【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意得 ，即 ，
因为 ，所以 ，A 错误；
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，因为 ，所以 ，B 正确；
因为 的最小正周期为 ，所以 ，又
即 ，解得 ， ，C 正确；
由上可得 ，令 ，
得 ，所以 的对称中心为 ，
取 即得 的图象关于点 对称，D 正确.
10. 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，焦距为 ， 为 的左顶点，
过点 且与直线 垂直的直线 与 轴相交于点 ，且 . ， 为双曲线 上关于坐标原点
对称的两点（点 在第一象限），记直线 ， 的倾斜角分别为 ， .则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线 的离心率 B. 直线 与双曲线 有两个公共点
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于选项 A，由题可知 ，易得直线 ： ，则 ，
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设坐标原点为 ，则 ，即 ，又 ，
代入整理得 ，即 ，A 正确；
对于选项 B，因为 ，可得 ，
所以直线 ： ，与 的渐近线 平行；所以直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，B 错误；
对于选项 C，因为 ，设 ，则 ，
又 ，
当 时， 取得最小值 ，所以 ，C 正确；
对于选项 D，由双曲线的对称性得 ，则 ， ，
因为 ，由 ，可得 ，
可知 ，
所以 ，
因为点 在第一象限，所以 ，因为 为左顶点，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ，即 ，D 正确.
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11. 已知函数 的定义域为 ，且对 ， 和 均恒
成立，令函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数 为奇函数
C. 函数 的图象关于直线 对称
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过变量替换转化题干给出的两个恒成立关系式，结合赋值法、函数奇偶性与对称性判定规则、
周期推导及数列求和方法逐一判断选项.
【详解】对于 A，在 和 中，令 得 ，
，
联立解得 ，A 正确；
对于 B，由 得 ，所以函数 的图象关于点 对称，
故函数 的图象关于原点对称，所以函数 为奇函数，B 正确；
对于 C，由 得 ，故 ，
则函数 的图象关于直线 对称，故函数 的图象关于直线 对称，C 错误；
对于 D，因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ， ，
故 ，D 正确.
【点睛】方法点睛：解决抽象函数性质问题的核心是通过合理的变量替换，将题干给出的恒等式转化为目
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标函数对应的性质关系，结合赋值法推导特殊点函数值，利用对称性、奇偶性、周期性的判定规则逐一验
证结论.
非选择题部分
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 已知 为单位向量，若向量 在向量 方向上的投影向量为 ，则 ________.
【答案】 ##
【解析】
【详解】 为单位向量， ，
向量 在向量 方向上的投影向量为 ，
.
13. 已知 ，则 ________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将 转化为关于 的式子，解出
的值，进而求出 的值.
【详解】解：由 得 ，
分子分母同时除以 得 ，
所以 ，故 ，且 ，
解得 ，
所以 .
14. 甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一
个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，
若摸到其他颜色的小球，记其颜色为 后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一
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人摸出红球或颜色为 的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为
的小球，则甲获胜.如果甲在第 次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为 ，若 ，则正
整数 的最大值为________.（参考数据：取 ， .）
【答案】4
【解析】
【分析】先求出 时 的通项公式，再令 求 的最大值即可.
【详解】对于 ， ，满足条件，
当 时， ，
令 ，得 ，不等式两边取常用对数得 ，
即 ，解得 ，所以正整数 的最大值为 4.
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知数列 的前 项和为 ， ，且对 ， .
（1）求 ；
（2）证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件化简递推公式，再根据累乘法求出通项公式；
（2）由（1）可知数列 为等差数列，前 项和为 ，由裂项相消求和即可得出证明.
【小问 1 详解】
解：（1）由题意得 ①，
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当 时， ②，联立①②，解得 ，
又 ，
当 时， ， ， ， ，
由累乘可得 ，所以 ，又 符合上式，
所以 .
【小问 2 详解】
证明：由（1）知数列 为等差数列，则 ，
所以 ，
故 ，
因为 ，所以 得证.
16. 睡眠是人体生理活动的基本阶段，良好的睡眠质量能够保证身体健康、增强免疫力、提高工作和学习的
效率.某科研小组为了研究平均每天使用电子产品的时间 （单位：h）对睡眠质量的影响，对 100 位志愿
者平均每天使用电子产品的时间和睡眠质量进行了调研，并统计得到了如下表格：
轻度睡眠障碍人数 1 2 3 1 2
重度睡眠障碍人数 4 3 6 4 4
睡眠质量良好人数 25 25 11 5 4
总人数 30 30 20 10 10
（1）由表中的数据求这 100 人平均每天使用电子产品时间的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值
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代表）；
（2）从这 100 人中随机抽取一人，求此人在轻度睡眠障碍的前提下，平均每天使用电子产品的时间在
内的概率；
（3）若平均每天使用电子产品的时间大于等于 4 小时为超标.按所给数据，完成下面列联表，并根据小概率
值 的独立性检验，能否认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
平均每天使用电子产品的时间
睡眠质量 合计
超标 不超标
良好
障碍（包括轻度和重度）
合计 100
附： ，
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）3.8 小时
（2）
（3）表格见解析，认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
【解析】
【小问 1 详解】
设这 100 人平均每天使用电子产品时间的估计值为 ，
则 ，
所以这 100 人平均每天使用电子产品时间的估计值为 3.8 小时.
【小问 2 详解】
设 ：此人轻度睡眠障碍； ：此人平均每天使用电子产品的时间在 内，
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则 ， ，
所以 .
【小问 3 详解】
由表中数据得列联表如下：
平均每天使用电子产品的时间
睡眠质量 合计
超标 不超标
良好 20 50 70
障碍（包括轻度和重度） 20 10 30
合计 40 60 100
零假设为 ：睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间无关，
根据列联表中的数据，计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为睡眠质量与平均每天使用电子产品的时间有关.
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 和 均是边长为 2 的正三角
形， ， 分别为棱 ， 的中点，且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
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【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（2）根据几何体的性质建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和平面的法向量，根据面面角的向量求法，
求出面面夹角的余弦值即可.
【小问 1 详解】
因为 和 均是边长为 2 的正三角形， 为 的中点，
所以 ，又因为 为 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ， ，
且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知 平面 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 平面 ，
所以 ，取 中点 ，连接 ，则三条直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
易得 ，因为 ，故 ，
得到 ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，即 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，点 ，且 的外接圆
半径为 .
（1）求 的方程；
（2）已知点 ， 为 上异于 ， 的点，分别以 ， ， 为切点作 的切线 ， ，
，且直线 与 交于点 ，直线 与线段 ， 分别交于点 ， ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）8.
【解析】
【分析】(1) 由抛物线 的标准形式先确定焦点 的坐标，结合 、 两点的已知坐标，
利用正弦定理建立关于 的方程，求解得到 的取值即可确定抛物线 的标准方程.
(2) 结合(1)中求得的 值确定 、 两点的坐标，先推导抛物线过切点的切线公式，依次求出切线 与
的交点 的坐标、过点 的切线 与线段 、 的交点 、 的坐标，将 的面积转化为关于
点坐标参数的函数，再借助函数单调性或基本不等式求解面积的最大值.
【小问 1 详解】
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由题， ， ， ，
由正弦定理得 的外接圆半径 ，
解得 ，所以 的方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ， ，设直线 ： ，
与抛物线方程联立 ，得 ，
则 ，得 ，
所以 ： ，同理可得 ： ，
联立 与 的方程，得 ，
设 ，直线 ： ，
由 ，得 ，
由 得 或 ，
当 时，直线 ： ，与直线 重合，
此时，点 与点 重合，不合题意，舍去，
当 时，直线 ： ，即 ，
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与直线 ： 联立可得 ，
点 到直线 的距离 ，
又 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 8，
所以 面积的最大值为 8.
19. 已知函数 的导函数为 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）试判断函数 在 上的极值点个数；
（3）已知 ， ，记 ， ，若
且 ，证明： .
【答案】（1）单调递增区间为 ；单调递减区间为
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，根据 的正负即可确定 的单调区间；
（2）对 不断求导，直到可以判断导函数正负为止，结合零点存在定理可最终推导说明 在
上的正负，进而确定 单调性，根据极值点定义可得结论；
（3）根据（2）中结论可得当 时， ，则 可证；根据 的单调性，通过构
造 函 数 ， 结 合 导 数 和 最 值 可 证 得
，由此可证得结论.
【小问 1 详解】
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由题意知： ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ，
，使得 ，且当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上有唯一的极大值点 ，不存在极小值点，
在 上的极值点个数为 .
【小问 3 详解】
由（2）知：当 时， ，即 ，
， ， ， 对任意 都成立，
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，即 ；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则当 时， ， ，即 在 上单调递增，
令 ， 且 ，
则 ， 在 上单调递增，
， ，
，
即 ；
综上所述： .
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