2025-2026学年北京市第十四中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第十四中学高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知角θ的终边经过点，则csθ的值为（ ）
A. B. C. D.
2.下列各式的值等于的是（ ）
A. sin15°cs15°B. tan30°
C. D. cs230°-sin230°
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，b=1，A=60°，则B等于（ ）
A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 90°
4.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A. B. C. 4D. 12
5.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（ ）
A. y=sinxB. y=|csx|C. y=tan2xD. y=sin2x
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若b=c•csA，则△ABC的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 正三角形
7.将函数f（x）=sin2x的图象向左平移m（m＞0）个单位得到g（x）的图象，则“m=kπ，k∈N*”是“g（x）是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数，下列结论中：
①函数f（x）恒满足f（x+π）=f（x）；
②直线是函数f（x）图象的一条对称轴；
③点是函数f（x）图象的一个对称中心；
④该函数在区间上单调递减.
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④
9.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ）
A. [0，18]
B. [-2，18]
C. [0，16]
D. [-2，2]
10.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在区间上是单调函数，，则f（2026π）=（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3π，则该扇形所在圆的半径为______．
12.已知α是第四象限角，且，则csα= ，= .
13.如图，边长为2的正方形ABCD中，点P满足，则= ；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是 .
14.已知函数的部分图象如图所示，则f（x）= ，若，则f（x2-x1）= .
15.已知函数f（x）=sinωx-cs2x（其中ω＞0），给出下列四个结论：
①若ω=1，则是函数的一个f（x）零点：
②若ω=1，函数f（x）的最小值是；
③若ω=2，函数f（x）图象关于直线对称；
④若ω=2，函数f（x）图象可由图象向右平移个单位长度得到.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知向量=（1，1），.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求向量的夹角θ的余弦值；
（Ⅲ）若与垂直，求实数k的值.
17.(本小题13分)
在△ABC中，a=5，b=11，.
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）求c及sinA的值.
18.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox为始边，终边分别与单位圆交于点A，B，已知点A的纵坐标为，点B的横坐标为.
（1）求tan（α-β）和cs2α的值；
（2）求的值；
（3）将点A绕点O逆时针旋转得到点C，求点C的坐标.
19.(本小题15分)
设函数.
（1）求f（x）的最小正周期，单调增区间，对称中心；
（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若函数f（x）在[-m,0]上有两个零点，请直接写出的m取值范围.
20.(本小题15分)
在条件①对任意的x∈R，都有；条件②f（x）最小正周期为π；条件③f（x）在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.
已知f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0，0≤φ＜2π），若_____，则ω，φ唯一确定.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数，对任意的，不等式g2（x）-mg（x）-1≤0恒成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题15分)
对于给定的正整数n,记集合，xj∈R，j=1，2，3，…，n}，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设k∈R，，，定义加法和数乘：，，对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数k1，k2，…，ks，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（Ⅰ）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（Ⅱ）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（Ⅲ）已知m（m≥2）个向量，，…，线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：
①如果存在等式（ki∈R，i=1，2，3，…，m），则这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（ki∈R，li∈R，i=1，2，3，…，m）同时成立，其中l1≠0，则.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】3
12.【答案】

13.【答案】
[1，2]

14.【答案】
0

15.【答案】①②③
16.【答案】 - 24
17.【答案】解：（Ⅰ）因为在△ABC中，a=5，b=11，，
所以sinC===，
所以△ABC的面积S=absinC=5×11×=22；
（Ⅱ）由余弦定理可得c===4，
由正弦定理，可得sinA===．
18.【答案】， 10
19.【答案】T=π；单调递增区间为；对称中心为；
最小值；最大值0；
．
20.【答案】（Ⅰ）解：若选择①②：由函数f（x）最小正周期为π，得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），
又由对任意的x∈R，都有，可得f（x）关于对称，
，k∈Z，则，k∈Z，
因为0≤φ＜2π，可得，所以；
若选择②③：由函数f（x）最小正周期为π，可得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），
又由，可得，
因为函数f（x）在为单调递增函数，
则，
解得，，；
若选择①③：由对任意的x∈R，都有，可得f（x）关于对称，
即，k∈Z，
即，k∈Z，
又由函数f（x）在为单调递增函数，可得=，
解得0＜ω≤2，
又由，可得，
因为函数f（x）在为增函数，
则满足，k∈Z，
解得，k∈Z，
所以，
即，因为0＜ω≤2，所以ω=2，
此时，；
（Ⅱ）由，
因为，可得，
所以，即g（x）∈[2，3]，
又由对任意，不等式g2（x）-mg（x）-1≤0恒成立，
即不等式mg（x）≥g2（x）-1恒成立，
即恒成立，
令t=g（x）∈[2，3]，
即恒成立，
令在 t∈[2，3]上为单调递增函数，
则h（t）max=h（3）=，
所以，即实数m的取值范围为．
21.【答案】①，②都线性相关，理由如下：
对于①，设，
则可得k1+2k2=0，所以，线性相关；对于②，设，
则可得，
所以k1+2k2=0，k3=0，
所以，，线性相关 向量，，是线性无关，理由如下：
设=，
则=，
因为向量，，线性无关，
所以，
解得k1=k2=k3=0，
所以向量，，是线性无关 证明：①++=，
如果某个k1=0，i=1，2，…，m，
则=，
因为其中任意m-1个都线性无关，
所以k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，km都等于0，
所以这些系数k1，k2，…，km或者全为零，或者全不为零；②因为l1≠0，
所以l1，l2，…，lm全不为零，
所以由=，
可得=，
代入=，
可得=，
所以=，
所以=0，
…
=0，
所以