河北省衡水名校2026届高三下学期5月学情调研数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省衡水名校2026届高三下学期5月学情调研数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．设，则( )
A.B.C.D.
3．若，，则( )
A.B.C.D.
4．已知平面向量a，b，c满足，，，若，则( )
A.B.C.D.
5．在简单经济模型中，当需求量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在需求量为m时的点弹性为.现在某简单经济模型中，当需求量为3时的点弹性为1，则当需求量为6时的点弹性为( )
A.B.C.1D.2
6．已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则( )
A.甲是乙的必要不充分条件
B.甲是乙的充分不必要条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为( )
A.7B.10C.13D.16
8．记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为( )
A.2B.4C.8D.16
二、多项选择题
9．已知样本点，，…，的回归直线l的方程为，相关系数为r，样本均值分别为.现令，.设新样本点的回归直线为，则( )
附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
A.过点
B.的斜率为
C.u与v的相关系数为
D.的截距为
10．已知三棱台的上下底面相似比为.在中，，，侧棱，且与底面所成的角为.则( )
A.直线与直线相互垂直
B.直线与直线相互垂直
C.侧面与底面相互垂直
D.侧面与侧面相互垂直
11．已知随机变量且，设，则( )
A.对任意n，p，恒成立
B.设，对任意n，p，恒成立
C存在n，p，使得方程在区间内有解
D存在n，p，使得函数在区间内单调
三、填空题
12．记抛物线与x轴的交点为T，与y轴的交点为A，B，若，为等腰直角三角形，则____________.
13．已知奇函数满足：当时，，则_______________.
14．在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为______
四、解答题
15．某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下：
这里家庭种类与恩格尔系数相关.
(1)用频率㣟讨概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关.
附：，.
16．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求.
17．记为等比数列的前n项和，已知.
(1)求的公比；
(2)求的前n项和.
18．设函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)当，时.
(i)求的值域；
(ii)证明：.
19．椭圆的右顶点为，过点A分别作斜率为的直线与斜率为的直线，，，分别与交于相异P，Q两点，且.已知当时，.
(1)求的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)求线段中点的轨迹方程.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意可得，故，故.
故选B.
2．答案：D
解析：由题意可得，
故.
故选D.
3．答案：B
解析：由题意可得，
可得.
故选B.
4．答案：A
解析：显然，，
得，显然，得.
故选A.
5．答案：C
解析：显然，，
解得，于是，
故.
故选C.
6．答案：A
解析：设，由是偶函数得，得，
由是奇函数得，得，
显然甲是乙的必要不充分条件.
故选A.
7．答案：D
解析：前三张牌成等差数列有：1，2，3；1，3，5；2，3，4；3，4，5；3，2，1；4，3，2；5，4，3；5，3，1.共8种可能，剩余两张随机排列，
故共有种可能，
综上，共有16种可能.
故选D
8．答案：C
解析：设，由条件得，得，可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为，
由定义与位置知，，
当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，
的周长.
故选C.
9．答案：ACD
解析：由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与，
因为回归直线必过样本中心点，所以新回归直线过点，故A正确；
因为且，代入公式可得新回归直线方程的斜率，故B错误；
代入公式可得新样本的相关系数，故C正确，
由截距公式可得新回归直线的截距，故D正确.
故选ACD.
10．答案：ABD
解析：将直线，以及延长交于点P，由上下底面相似比为，得，，分别为、与的中点.
因为，所以，
在中，由得到.
取的中点M，连接与，则且.
在等腰中，且，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，即，故A正确；
因为平面，所以平面平面，交线为，过点P作于O，则平面，从而，
在中由余弦定理得到，即，解得，此时，所以，
又，且，所以平面，因此，
又，得到平面，
又平面，所以，即直线直线，故B正确；
侧面所在平面即平面，二面角的平面角为，
在直角中，由得到该平面角为，两平面不垂直，故C错误；
要证侧面与侧面垂直，即证平面与平面垂直，
由平面且平面得到两平面相互垂直，故D正确.
故选ABD.
11．答案：ACD
解析：因为，所以，代入已知可得，
由二项式定理可得，则，代入可得，
又因为二项分布的数学期望，所以恒成立，故A正确；，代入可得，
因为二项分布的方差，若恒成立，则恒成立，
因为且，等式两边同除以可得，化简可得，此等式不可能对任意满足且的n，p恒成立，故B错误；
令，则，，
取，，此时，代入，易知，则，
由零点存在定理，存在使得，即存在n，p使得方程在内有解，故C正确；
，
取，，此时，
当时，恒成立，此时导函数恒小于零，函数在区间内单调递减，满足题意，故D正确.
故选ACD.
12．答案：3
解析：显然，由得，注意到由对称性必有，
故，于是，，而，故.
故答案为3.
13．答案：4052
解析：显然，注意到时，
于是052.
故答案为4052.
14．答案：
解析：显然，记，则，，可知，
由等腰三角形性质得，
由余弦定理得，，而，由θ为捝角得，
故的内切圆半径.
故答案为.
15．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)记事件A：收支情况良好，事件B：家庭种类为M，
(2)零假设为：收支情况与家庭种类无关，，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即可知收支情况与家庭种类无关.
16．答案：(1)证明见解析
(2)1或2
解析：(1)由，，，平面，平面得平面，
由平面得，
由平面平面，平面平面，平面得平面.
(2)以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，，则，，，，，，，
记平面的法向量为
，即，
可取，
记直线与平面所成角为θ，，
即，
，
于是或2.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由等比数列性质得，
于是，
若，
则，这与各项均不为0矛盾，
于是，，
两式相减得，
故的公比.
(2)由，令则.
此时，
，
故的前n项和.
18．答案：(1)
(2)(i)；(ii)证明见解析
解析：(1)，，
而，
故曲线在处的切线方程为.
(2)(i)设，
由于其是偶函数，故只需考虑其在时的情况.
，
设，，
单调递增，于是，故在上单调递增，
而，，
可知在上单调递增，
结合偶函数的性质可得在上的值域为.
(ii)由奇偶性知只要证明时，即可.
当时，，考虑，
，
单调递增，此时，
于是，
即，
故只要证在时成立即可.
设，，
设，
单调递减，，
单调递减，，
故，
综上.
19．答案：(1)，即
(2)证明见解析
(3)，其中且
解析：(1)由题意知，椭圆的右顶点为，可得.
此时椭圆方程为.
已知，当时，代入可得.
此时直线方程为.
将直线的方程代入得.
设点Q的坐标为，
因为直线与椭圆交于A，Q两点，且，
由韦达定理可得.
解得.
将代入直线方程得.
由两点间距离公式可得.
由题意已知，
即，则，.
因为，故.
解得.
经检验，此时，，满足条件，
故的方程为，即.
(2)假设直线垂直于x轴，设其方程为且.
此时P，Q两点关于x轴对称，设，且，
则，.
从而，这与题设条件矛盾，因此直线不可能垂直于x轴.
设直线的方程为，设，。
将直线方程代入得.
因为直线与椭圆交于相异两点，故判别式.
由韦达定理得，.
由于，且直线，的斜率分别为，，
则，
即
.
分子部分为.
分母部分为.
若，即，直线的方程变为，这意味着直线经过点，与P，Q是不同于A的交点矛盾，
故.
将分子分母代回可得.
由题意知，建立等式.
解得，即.
代回得，
则当时，必有.
即直线恒过定点.
(3)设，，线段的中点为.
由(2)可知，直线过定点.
因为P，Q在椭圆上，
代入得与.
两式相减并分解因式可得.
因为为中点，所以，，
代入化简得。
由题意，交点P，Q相异，则（否则直线垂直于x轴已在(2)排除），
由上式可得直线的斜率k满足.
又过且过中点，
当时直线垂直于x轴矛盾，
故且，
代入上式得.
也即，
即，
也即。
设直线的方程为，
代入椭圆方程中整理得.
为保证直线与椭圆交于相异两点，必须满足判别式，，解得.
由韦达定理，中点的横坐标.
一方面，.
因为，故分子，分母恒正，
所以，即.
另一方面，.
因为，故，分子严格大于0，
所以，即.
同时，由代入横坐标可得中点纵坐
标.
则.
因为，故且，
从而，
所以，即.
故可知x的取值范围为，且y的取值范围满足.
收支情况良好
收支情况较差
M类家庭
80
20
N类家庭
75
25
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828