江苏省泰州市海陵区2025年高考数学一模试卷含解析

这是一份江苏省泰州市海陵区2025年高考数学一模试卷含解析，共30页。试卷主要包含了在中，，，，则边上的高为等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，满足约束条件，则的最大值为
A．B．C．D．
3．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ）
A．B．
C．D．
5．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A．内所有直线与异面
B．内只存在有限条直线与共面
C．内存在唯一的直线与平行
D．内存在无数条直线与相交
6．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
8．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．在中，，，，则边上的高为（ ）
A．B．2C．D．
11．已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
12．设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.
14．若函数为奇函数，则_______.
15．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________．
16．根据如图所示的伪代码，若输入的的值为2，则输出的的值为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.
18．（12分）已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.
(1)求证:平面；
(2)求三棱锥的体积.
20．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________.
21．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.
22．（10分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
2．D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，
等价于，作直线，向上平移，
易知当直线经过点时最大，所以，故选D．
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
3．A
【解析】
根据向量坐标运算求得，由平行关系构造方程可求得结果.
【详解】
，
，解得：
故选：
本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则.
4．D
【解析】
由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．
【详解】
解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，
或者或者是该数列中的项，
又数列是递增数列，
，
，，只有是该数列中的项，
同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，
，或（舍，，
根据，，，
同理易得，，，，，，
，
故选：D．
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
5．D
【解析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.
【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
6．D
【解析】
根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.
【详解】
设为中点，是等边三角形，
所以，
又因为，且，
所以平面，则，
由三线合一性质可知
所以三棱锥为正三棱锥，
设底面等边的重心为，
可得，，
所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：
由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，
在中，，
即，
解得，
所以三棱锥的外接球表面积为，
故选：D.
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
7．C
【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数.
【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为，
故选：C.
本题考查中位数的计算，属基础题.
8．A
【解析】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.
【详解】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上
的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为
.
故选：A.
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
9．A
【解析】
由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，由，解得，
所以，.
故选：A.
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
10．C
【解析】
结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.
【详解】
过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.
故选：C
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.
11．A
【解析】
由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】
依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，
即，∴，可得,
双曲线的渐近线方程为：,
故选：A．
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
12．B
【解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．
【详解】
因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，
所以向量，共线且方向相反，
所以，即充分性成立；
反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．
所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．
故选B．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】
将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形，
故答案为：
本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.
14．-2
【解析】
由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.
【详解】
由题意,的定义域为,,
是奇函数,则,即对任意的,都成立,
故,整理得,解得.
故答案为:.
本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.
15．
【解析】
直接计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
则质量指标值位于区间之外的产品件数：
故答案为：
本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.
16．
【解析】
满足条件执行，否则执行.
【详解】
本题实质是求分段函数在处的函数值，当时，.
故答案为：1
本题考查条件语句的应用，此类题要做到读懂算法语句，本题是一道容易题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）存在；详见解析
【解析】
（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；
（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．
【详解】
解：（1）由题易知解得，
所以椭圆方程为
（2）设
当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得
，显然
所以
因为
化简
解得即
所以此时存在定点满足题意
当直线斜率不存在时，显然也满足
综上所述，存在定点，使成立
本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．
18．（1）；（2）
【解析】
（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；
（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果.
【详解】
（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根
由，知
有两个零点有两个相异实根.
令，则，
由得：，由得：，
在单调递增，在单调递减
，
又
当时，，当时，
当时，
有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，
原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.
令
令，，则
在上单增
又，
，使即①
当时，，当时，，
即在递减，在递增，
由①知
函数在单调递增
即
，
实数的取值范围为.
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
19．（1）见解析（2）
【解析】
（1）第（1）问，连交于,连接.证明// ，即证平面. (2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.
【详解】
（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴
在中， ,故// .
又平面, 平面,∴ 平面.
方法二：过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心，
又ABCD为梯形，AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得// ，所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,

（2） 方法一:由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由（1）知//平面，∴
又由梯形ABCD，AB||CD，且，知
又为正三角形，得，∴，
得
∴三棱锥的体积为.
方法二: 由平面平面， 与均为正三角形， 为的中点
∴， ，得平面，且
由，∴
而又为正三角形，得，得.
∴，
∴三棱锥的体积为.
20．
【解析】
原不等式等价于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范围.
【详解】
因为在时恒成立，故在恒成立.
令，由可得.
令，，则为上的增函数，故.
故.
故答案为：.
本题考查含参数的不等式的恒成立，对于此类问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，本题属于基础题.
21．（1）（2）最大值；最小值.
【解析】
（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；
（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.
【详解】
解：（1）因为，代入，可得直线的直角坐标方程为.
（2）曲线上的点到直线的距离
，其中，.
故曲线上的点到直线距离的最大值，
曲线上的点到直线的距离的最小值.
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.
22．（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.
（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.
【详解】
（1）证明：∵平面，
∴四边形是矩形，
∵为中点，且，
∴，
∵，，，
∴.∴，
∵，∴与相似，
∴，∴，
∴，
∵，∴平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∴平面，∴.
（2）如图，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，，
解得：，
同理，平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
即二面角的余弦值为.
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0