2026届河南省创新发展联盟高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省创新发展联盟高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共30页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的大致图象是，已知集合等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数的导函数，且满足，若在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则为（ ）
A．[0，2)B．(2，3]C．[2，3]D．(0，2]
3．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数的共轭复数是
C．D．
8．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）.
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
11．设，则复数的模等于( )
A．B．C．D．
12．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，则_____.
14．己知函数，若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______.
15．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．
16．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．
（1）若，求直线与轴的交点坐标；
（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．
18．（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，成等差数列，求的值；
（2）是否存在满足为直角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）记数列的前项和为，已知成等差数列.
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求.
22．（10分）设直线与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，设直线（为坐标原点）的斜率分别为，若.
（1）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数，满足？并说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据的结构形式，设，求导，则，在上是增函数，再根据在中，，得到，，利用余弦函数的单调性，得到，再利用的单调性求解.
【详解】
设，
所以 ，
因为当时，，
即，
所以，在上是增函数，
在中，因为，所以，，
因为，且，
所以，
即，
所以，
即
故选：D
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2、B
【解析】
先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
所以，则，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
3、C
【解析】
如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案.
【详解】
如图所示：切点为，连接，作轴于，
，故，
在中，，故，故，，
根据勾股定理：，解得.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4、D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
5、A
【解析】
用排除B，C；用排除；可得正确答案.
【详解】
解：当时，，，
所以，故可排除B，C；
当时，，故可排除D．
故选：A．
【点睛】
本题考查了函数图象，属基础题．
6、C
【解析】
讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.
【详解】
解：当时，，由开口向上，则恒成立；
当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，
若 时，要使得恒成立，则 ，即 .
所以“”是“恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.
7、D
【解析】
首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.
8、A
【解析】
令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x，
令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=，
故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A．
9、D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、B
【解析】
试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B.
考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.
11、C
【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.
【详解】
因为,
所以,
由复数模的定义知,.
故选:C
【点睛】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.
12、B
【解析】
分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得
详解： ，故选B
点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.
【详解】
对等式两边求导，得，令，则.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.
14、
【解析】
首先判断出函数为定义在上的奇函数，且在定义域上单调递增，由此不等式对任意的恒成立，可转化为在上恒成立，进而建立不等式组，解出即可得到答案．
【详解】
解：函数的定义域为，且，
函数为奇函数，
当时，函数，显然此时函数为增函数，
函数为定义在上的增函数，
不等式即为，
在上恒成立，
，解得．
故答案为．
【点睛】
本题考查函数单调性及奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，属于常规题目．
15、
【解析】
由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得，即，解得，
故的面积.
故答案为：
【点睛】
本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.
16、5
【解析】
△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.
【详解】
如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），
抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.
过作准线的垂线，垂足为，则有
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以△PMF的周长最小值为55.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析
【解析】
（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；
（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．
【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，
（1）由题知，，则．因为，所以，
则直线的方程为，联立，可得
故．则，直线的方程为．令，
得，故直线与轴的交点坐标为．
（2）证明：因为，，所以．设点，则．
设
当时，设，则，此时直线与轴垂直，
其直线方程为，
直线的方程为，即．
在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．
同理当时，交点也在椭圆上．
当时，可设直线的方程为，即．
直线的方程为，联立方程，
消去得，化简并解得．
将代入中，化简得．
所以两直线的交点为．
因为
，
又因为，所以，
则，
所以点在椭圆上．
综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
18、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）构造直线所在平面，由面面平行推证线面平行；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再由法向量之间的夹角，求得二面角的余弦值.
【详解】
（1）过点交于点，连接，如下图所示：
因为平面平面，且交线为,
又四边形为正方形，故可得，
故可得平面，又平面，
故可得.
在三角形中，因为为中点，，
故可得//，为中点；
又因为四边形为等腰梯形，是的中点，
故可得//；
又，
且平面，平面,
故面面，
又因为平面，
故面.即证.
（2）连接，，作交于点，
由（1）可知平面，又因为//，故可得平面，
则；
又因为//，，故可得
即，，两两垂直，
则分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
，，，
，，
设面的法向量为，则，，
则，
可取，
设平面的法向量为，则，，
则，
可取，
可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为
.
【点睛】
本题考查由面面平行推证线面平行，涉及用向量法求二面角的大小，属综合基础题.
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；
（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，
，分别是，的中点，
，，
又，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，，
又，故，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，
是的中点，是的三等分点，
，1，，，，，
，，，，0，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．
20、见解析
【解析】
（1）因为，，成等差数列，所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以．
（2）若B为直角，则，，
由及正弦定理可得，
所以，即，
上式两边同时平方，可得，所以（*）．
又，所以，，
所以，与（*）矛盾，
所以不存在满足为直角．
21、（1）证明见解析，；（2）
【解析】
（1）由成等差数列，可得到，再结合公式，消去，得到，再给等式两边同时加1，整理可证明结果；
（2）将（1）得到的代入中化简后再裂项，然后求其前项和.
【详解】
（1）由成等差数列，则，
即，①
当时，，
又，②
由①②可得：，
即，
时，.
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
，所以.
（2），
所以.
【点睛】
此题考查了数列递推式，等比数列的证明，裂列相消求和，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
22、（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析
【解析】
（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出，，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得，，，代入，，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点，
故设
由可得，
.
，
，
故
所以直线l的方程为
故直线l恒过定点.
（2）由（1）知
设
由可得，
，即存在常数满足题意.
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．