2026届河南省八市高三第三次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届河南省八市高三第三次模拟考试数学试卷含解析，共30页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．设为虚数单位，复数，则实数的值是（ ）
A．1B．-1C．0D．2
3．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )
A．B．
C．3或D．或
4．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为，则C为（ ）
A．B．
C．D．
5．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点.若的内切圆与线段在其中点处相切，与相切于点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
8． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋ (k∈Z)
9．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
10．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）
A．B．C．D．
11．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
12．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是 ；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___
14．已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形，且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA最长时，则______________；四棱锥P-ABCD的体积为______________.
15．已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____.
16．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，.
（1）求函数的极值；
（2）对任意，都有，求实数a的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.
19．（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x)=,
（1）求f(x)的最小值；
（2）对任意，都有恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切，都有成立．
20．（12分）已知函数
（1）当时，证明，在恒成立；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
21．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求使不等式成立的最大自然数n；
（2）记数列的前n项和为，求证：.
22．（10分）已知等差数列和等比数列满足：
(I)求数列和的通项公式；
(II)求数列的前项和.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
先化简集合A，再与集合B求交集.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.
2、A
【解析】
根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.
【详解】
复数，
由复数乘法运算化简可得，
所以由复数定义可知，
解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.
3、D
【解析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.
【详解】
因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值；
当时，解得，所以是输入的x的值，
所以输入的x的值为 或3，
故选：D.
【点睛】
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.
4、A
【解析】
由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求.
【详解】
由题意，2c＝8，则c＝4，
又，且a2+b2＝c2，
解得a2＝4，b2＝12.
∴双曲线C的方程为.
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
5、D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
【点睛】
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
6、D
【解析】
可设的内切圆的圆心为，设，，可得，由切线的性质：切线长相等推得，解得、，并设，求得的值，推得为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．
【详解】
可设的内切圆的圆心为，为切点，且为中点，，
设，，则，且有，解得，，
设，，设圆切于点，则，，
由，解得，，
，所以为等边三角形，
所以，，解得.
因此，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】
本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．
7、A
【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.
【详解】
由题,因为,所以,
设,则由,可得,解得,
可将三棱锥还原成如图所示的长方体,
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,
所以外接球的体积.
故选:A
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.
8、C
【解析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.
【详解】
与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.
故答案为C
【点睛】
（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与终边相同的角=+ 其中.
9、B
【解析】
先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.
【详解】
若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.
对函数求导得，由得，
由图象可知，满足不等式的的取值范围是，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.
10、D
【解析】
由函数的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对赋值即可求解.
【详解】
由题意知，函数的最小正周期为,即,
由函数的图象平移变换公式可得，
将函数的图象向右平移个周期后的解析式为
，
因为函数的图象关于轴对称，
所以，即，
所以当时，有最小正值为.
故选：D
【点睛】
本题考查函数的图象平移变换公式和三角函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
11、D
【解析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可
【详解】
由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确.
故选：D
【点睛】
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.
12、A
【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.
【详解】
由,得,即,
所以,
所以.
故选:A
【点睛】
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用绝对值的几何意义，确定出的最小值，然后根据题意即可得到的取值范围
化简不等式，求出 的最大值，然后求出结果
【详解】
的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有
化简不等式有 ，
即
而
当时满足题意，解得或
所以答案为
【点睛】
本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简
14、90°
【解析】
易得平面PAD，P点在与BA垂直的圆面内运动，显然，PA是圆的直径时，PA最长；将四棱锥补形为长方体，易得为球的直径即可得到PD，从而求得四棱锥的体积.
【详解】
如图，由及，得平面PAD，
即P点在与BA垂直的圆面内运动，
易知，当P、、A三点共线时，PA达到最长，
此时，PA是圆的直径，则；
又，所以平面ABCD，
此时可将四棱锥补形为长方体，
其体对角线为，底面边长为2的正方形，
易求出，高，
故四棱锥体积.
故答案为： (1) 90° ； (2) .
【点睛】
本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.
15、
【解析】
由，，成等差数列，代入可得的值.
【详解】
解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，
可得：，代入，
可得：，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.
16、2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又
本题正确结果：
【点睛】
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）当时， 无极值；当时， 极小值为；（2）.
【解析】
（1）求导，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可.
【详解】
（1）依题，
当时，，函数在上单调递增，此时函数无极值；
当时，令，得，
令，得
所以函数在上单调递增，
在上单调递减.
此时函数有极小值，
且极小值为.
综上：当时，函数无极值；
当时，函数有极小值，
极小值为.
（2）令
易得且，
令
所以，
因为，，从而，
所以，在上单调递增.
又
若，则
所以在上单调递增，从而，
所以时满足题意.
若，
所以，，
在中，令，由（1）的单调性可知，
有最小值，从而.
所以
所以，由零点存在性定理：
，使且
在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
故当，不成立.
综上所述：的取值范围为.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
18、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线的焦点在直线上，可求得的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线，的方程分别为和且，，，可得，，，的坐标，进而可得直线的方程，根据在直线上，可得，再分别求得，，即可得证；法二：设，，则，根据直线的斜率不为0，设出直线的方程为，联立直线和抛物线的方程，结合韦达定理，分别求出，，化简，即可得证.
【详解】
（1）抛物线C的焦点坐标为，且该点在直线上，
所以，解得，故所求抛物线C的方程为
（2）法一：由点F在线段上，可设直线，的方程分别为和且，，，则，，，.
∴直线的方程为，即.
又点在线段上，∴.
∵P是的中点，∴
∴，.
由于，不重合，所以
法二：设，，则
当直线的斜率为0时，不符合题意，故可设直线的方程为
联立直线和抛物线的方程，得
又，为该方程两根，所以，，，.
，
由于，不重合，所以
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19、 (1) (2)（ (3)见证明
【解析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）
当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数f(x）的最小值为f(）=；
（2）因为所以问题等价于在上恒成立，
记则，
因为，
令
函数f(x）在（0,1）上单调递减;
函数f(x）在（1，+）上单调递增；
即，
即实数a的取值范围为（.
（3）问题等价于证明
由（1）知道
，令
函数在（0,1）上单调递增；
函数在（1，+）上单调递减；
所以{，
因此，因为两个等号不能同时取得，所以
即对一切，都有成立.
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
20、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.
设研究在处左正右负，求导，分 ，，三种情况讨论求解.
【详解】
（1）因为，
所以，
令，则，
所以是的增函数，
故，
即.
因为
所以，
①当时，，
所以函数在上单调递增.
若，则
若，则
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
所以在处取得极小值，不符合题意，
②当时，
所以函数在上单调递减.
若，则
若，则
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以在处取得极大值，符合题意.
③当时，，使得，
即，但当时，即
所以函数在上单调递减，
所以，即函数)在上单调递减，不符合题意
综上所述，的取值范围是
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.
21、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.
（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.
【详解】
（1）由题意，可知，
即，
∴.
又，，∴，
∴.
∴，
∴，
故满足题意的最大自然数为.
（2），
∴.
.
.
从而当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
所以，
由，知不等式成立.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22、 (I) ，；(II)
【解析】
(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.
(II) ，利用裂项相消法计算得到答案.
【详解】
(I) ，故，
解得，故，.
(II)
，故.
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.