云南昆明理工大学附属高级中学2025_2026学年下学期期中检测高一年级数学试题 [含答案]

这是一份云南昆明理工大学附属高级中学2025_2026学年下学期期中检测高一年级数学试题 [含答案]，共21页。试卷主要包含了 已知集合，则集合， 设向量, 则是“”的， 设，则的大小关系为， 若复数，则下列选项正确的有等内容，欢迎下载使用。
（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡的相应位置上，在试题卷､草稿纸上作答无效.
2考试结束后，请将答题卡交回，试卷学生自己保管好.
第I卷（选择题，共58分）
一､单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确选项，请将该选项对应的字母填涂在答题卡上.不选､多选､错选均不得分.）
1. 已知集合，则集合（）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由，
则.
2. 设向量, 则是“”的（）
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．
【详解】的充要条件为，即或，
“”是“或”成立的充分不必要条件，
“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断．
3. 设，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
4. 已知向量在向量上的投影向量为，且，则（）
A. -18B. -12C. 6D. 12
【正确答案】A
【分析】结合向量投影可得；
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，且，
所以，且，
所以.
5. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为（）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】上底边长，下底边长，侧棱，
由正四棱台性质可得：如图，，
所以，再由勾股定理可得棱台的高：，
代入体积公式计算：V=13×62×1+4+1×4=13×62×7=766 .
6. 设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）
A. B.
C. 或D.
【正确答案】C
【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围.
【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.
因此，不等式可以转化为.
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得或.
故选：C.
7. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）
A. B. C. D. 3
【正确答案】A
【分析】由正弦定理得出边长之比，求得三角形的三边长，然后由海伦公式计算面积．
【详解】解：周长为5+的△ABC满足sinC：sinA：sinB＝2：3：，
利用正弦定理整理得：c：a：b＝2：3：，
令，
所以c＝2k，a＝3k，b＝，
利用a+b+c＝2k+3k+k＝5+，
解得k＝1，
故c＝2，b＝3，b＝．
故．
故选：A．
8. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（）
A. B. 0C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】根据函数奇偶性可求得函数的周期为4，再根据所给解析式求出一个周期内的函数值之和，可求出结果.
【详解】为偶函数，所以，
令，可得，也即，
因此函数的对称轴为，且；
又因为为奇函数，因此，所以
所以，也即，；
可得，可知函数的周期为4，
又因为当时，（且），所以，可得；
又易知，由可得，可得;
所以；
因此则.
二､多选题（本题共有3个小题，每小题6分，共18分.每小题有多个正确选项，请将正确选项对应的字母填涂在答题卡上.其中选全6分，部分选对得部分分，错选0分.）
9. 若复数，则下列选项正确的有（）
A. B. 的共轭复数为
C. 为实数D. 在复平面内对应的点位于第二象限
【正确答案】AC
【详解】因为，所以，故A正确；
复数的共轭复数为，故B错误；
为实数，故C正确；
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.
10. 如图是棱长为2的正方体的平面展开图，其中是的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是（）
A. 与平行
B.
C. 直线、、中，任意两条都是异面直线
D. 过，，三点的平面截该正方体所得截面的面积为
【正确答案】BCD
【分析】由题意还原正方形，根据几何性质以及异面的概念，结合共面判定与菱形性质，可得答案.
【详解】由题意还图可得
对于A，由，则，故A错误；
对于B，由，则，故B正确；
对于C，由，，则两两异面，故C正确；
对于D，取的中点为，连接，如下图：
由分别为的中点，则，
所以四边形为菱形，即共面，故菱形为所求截面，
易知，，则面积为，故D正确.
故选：BCD.
11. 在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，角的平分线交于点，则
【正确答案】BCD
【详解】对于A，因为，所以，
所以，又，即，
则，又，所以，
解得，又，故，故A错误；
对于B，因为，外接圆的半径为2，
所以，故B正确；
对于C，因为，即，
又，所以，得，当且仅当时，取等号，
所以，即面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，结合，解得，
由，即，
解得，故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 且的图象恒过定点_________．
【正确答案】
【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可.
【详解】令，得，则，
即且的图象恒过定点.
故答案为.
13. 已知满足，则________．
【正确答案】
【分析】应用两角差余弦公式及同角三角函数关系得出，再应用二倍角余弦公式及弦化切计算求解.
【详解】因为，
所以，则，
则.
故答案为.
14. 如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________
【正确答案】
【分析】设半圆的圆心为，分析可知，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量模长的坐标公式可求得的取值范围.
【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
则，，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围是.
四､解答题（本题共5个小题，其中15题13分，16､17题15分，18､19题17分，共77分）
15. 如图，在菱形中，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的线性运算可求的表示形式，从而可求的值；
（2）根据数量积的运算律可求的值．
【小问1详解】
，
因不共线，故，故.
【小问2详解】
,
故
.
16. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，为锐角，且，，，求的面积．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用余弦二倍角公式辅助角公式先化简，然后利用正弦型函数单调性求解即可；
（2）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由，
令，
解得，即的单调递增区间为．
【小问2详解】
由（1）可得，则，
因为，所以，则，解得，
由正弦定理，可得，
因为，
所以，
所以．
17. 已知的内角的对边为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长.
【正确答案】（1）
（2）；
【小问1详解】
由正弦定理得：，，
，又，.
【小问2详解】
由（1）知：，，解得：；
为的中线，，
，
，即中线的长为；
为内角的平分线，，
，，
.
18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且．
（1）求证：四点共面；
（2）求证：平面；
（3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证；
（2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证；
（3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解.
【小问1详解】
连接，因为点分别为棱的中点，
所以，
又在正方体中且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以，所以四点共面；
【小问2详解】
连接、分别交、于点、，连接，
在正方体中，且，
所以，则，
同理可得，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面；
【小问3详解】
因为平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，
又，所以，因为，所以.
19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.
（1）若向量的“完美坐标”为，求；
（2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：；
（3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析（3）.
【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；
（3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域.
【小问1详解】
因为的“完美坐标”为.
则.
又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成，
所以，则.
故.
【小问2详解】
证明：由（1）知，，
所以
.
【小问3详解】
因为向量的“完美坐标”分别为，，
由（2）得.
令，
则.
因为，所以，即.
令.
因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为.