2025-2026学年山西省太原市第五中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年山西省太原市第五中学高二（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）=sinx+f′（0），则=（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知，则m等于（ ）
A. 1B. 4C. 1或3D. 3或4
3.记Sn为数列{an}的前n项和，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知随机变量X取所有值1、2、…、n是等可能的，且，则n的值为（ ）
A. 20B. 19C. 18D. 17
5.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知数列{an}满足a1=2，，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列是公差为的等差数列B. 数列是公差为2的等差数列
C. 数列是公比为的等比数列D. 数列是公比为2的等比数列
7.已知函数f（x）=ex+x的图象在点（0，f（0））处的切线也是函数g（x）=lnx+b的图象的切线，则实数b=（ ）
A. ln2B. 1C. D. 2+ln2
8.已知不经过点A（2，1）的直线l：y=-x+m（m≠1）与双曲线E：交于B，C两点，若∠BAC的角平分线与x轴垂直，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（ ）
A. 若P（A）＞0，P（B）＞0，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立
B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C. 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，若某运动员罚球命中的概率是0.7，则他罚球1次的得分均值为0.7
D. 若随机变量X的数学期望E（X）=2.8，则E（3X+2）=8.4．
10.已知m,n为正整数，且m＜n,则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响.记An表示事件“第n次分类正确”，P（An）表示第n次分类正确的概率.已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第（n+1）次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第（n+1）次分类正确的概率为.记pn=P（An），则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若第n次分类正确，则第（n+2）次分类正确的概率为
C. 数列是等比数列
D. 数列{pn}的前n项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f（x）=e3x，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 .
13.某居委会派小王、小李等6人到甲、乙两个路口做引导员，每人只去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为 .
14.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2：5.
（1）求n的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
16.(本小题15分)
甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会.
（1）求甲、乙面试都合格的概率；
（2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x2-2ax）lnx+，a∈R.
（1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈[1，+∞）时，函数f（x）有两个零点，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，矩形ABCD中，点E，F，M分别在BC，AD，FD上，AB=AF=BE=FM=1，EC=DF=3，将四边形ABEF沿EF翻折至四边形A′B′EF，使得平面A′B′EF⊥平面ECDF.
（1）证明：A′M∥平面B′EC.
（2）若存在点Q，使得点Q到A′，B′，E，M的距离相等.
（ⅰ）求点Q到平面A′B′C的距离；
（ⅱ）若点P满足PQ=MQ，当PD取得最小值时，求平面PEC与平面B′EC夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-alnx-x,其中a∈R.
（1）当a=-1时，判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在定义域内存在极值点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】CD
11.【答案】ABD
12.【答案】y=3x+1
13.【答案】28．
14.【答案】2025．
15.【答案】6；
60；
．
16.【答案】 X的分布列为：

17.【答案】当时，f（x）的单调递增区间为（0，a）和，f（x）的单调递减区间为；
当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）的单调递增区间为和（a，+∞），f（x）的单调递减区间为；
．
18.【答案】证明：在矩形ABCD中，因为AF∥BE，AF=BE=AB=1，
所以四边形ABEF为正方形，
则EF⊥EC，EF⊥BE，即EF⊥B′E，又B′E∩EC=E，
所以EF⊥平面B′EC，
则是平面B′EC的一个法向量，
同理证得EF⊥平面A′FM，又A′M⊂平面A′FM，
所以EF⊥A′M，
即，
又A′M⊄平面B′EC，
所以A′M∥平面B′EC （ⅰ）；（ⅱ）
19.【答案】f（x）在（0，+∞）上单调递增，理由如下：
由题意知，当a=-1时，函数f（x）=ex+lnx-x的定义域为（0，+∞），
求导得.当x＞0时，ex＞1，且，因此f′（x）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增 （0，+∞） 设0＜x1＜x2，则f（x1）=f（x2）=0，
则，
即，
两式相乘得：．
要证，即证：（alnx1+x1）（alnx2+x2）＞x1x2．
由题意，函数f（x）有两个不同零点，
①若a=0，则f（x）=ex-x，求导得f′（x）=ex-1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；又f（0）=1＞0，故f（x）＞0恒成立，无零点，与题设矛盾，
②若a＜0，令a=-b（b＞0），
则．
当x＞0时，ex＞1，，故f′（x）＞0恒成立，
f（x）在（0，+∞）上严格单调递增，至多有一个零点，与题设矛盾，
综上，函数有两个不同零点时，必有a＞0，且x1＞0，x2＞0．
现证x1＞1，假设0＜x1≤1：
若x1=1，则lnx1=0，代入得e=1，矛盾，
首先证明不等式ex＞x+1，x＞0，设φ（x）=ex-x-1，x＞0，
则φ′（x）=ex-1＞φ′（0）=0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
则φ（x）＞φ（0）=0，则ex＞x+1在（0，+∞）上恒成立，
若0＜x1＜1，则lnx1＜0，由，
及不等式可得：x1+alnx1＞x1+1，
即alnx1＞1．因为lnx1＜0，所以a＜0，与a＞0矛盾，
故x1＞1，同理可得x2＞1．
因为x1＞1，x2＞1，所以lnx1＞0，lnx2＞0，结合a＞0，
有：alnx1+x1＞x1＞0，alnx2+x2＞x2＞0，
两式相乘得：（alnx1+x1）（alnx2+x2）＞x1x2，
即，原不等式得证 X
1
2
3
4
P