辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期5月第三次模拟数学试卷及答案

这是一份辽宁省多校联考2025-2026学年高三下学期5月第三次模拟数学试卷及答案，共4页。试卷主要包含了复数，设，，，则，，的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对条形码上的信息．确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知平面向量，，若，则实数的值为（ ）
A．4B．-4C．1D．-1
2．定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．0B．2C．3D．5
3．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（ ）
A．0.15B．0.25C．0.4D．0.6
5．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（ ）
A．41B．25C．10D．9
6．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，且满足，，，则使不等式成立的正整数的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）
9．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是等差数列D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（ ）
A．直线与所成角的余弦值为
B．用平面截该正方体，所得截面面积为
C．若与交于点，则长度的取值范围是
D．若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．一个盒子里装有5个红球和3个白球，从中不放回地依次随机取出2个球．已知第一次取出的球是红球，则第二次取出的球是白球的概率为________．
13．写出曲线过坐标原点的切线方程：________；．
14．已知双曲线：的右焦点为，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线与交于另一点，若，则的离心率为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）．
（1）证明：；
（2）当时，求二面角的余弦值．
16．（15分）
已知抛物线的焦点为，过点作两条互相垂直的直线，，与抛物线交于，两点，与抛物线交于，两点．设，，，．
（1）若，直线的斜率为1，求的值；
（2）求四边形面积的最小值及此时直线的斜率．
17．（15分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围；
（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．
18．（17分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若恒成立，求取值范围；
（3）若，求证：函数有两个大于1的零点．
19．（17分）
为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号1～6的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立．规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到1～5号代币得1个积分．定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，记第次抽取后处于“安全积累状态”的概率为．
（1）①求抽取3次后，总积分为4分的概率；
②求的值；
（2）设抽取次后处于“安全积累状态”，且积分和为．求满足条件的的取值范围，并求当最大时共有多少种抽取方法；
（3）证明：当时，．
2026年5月普通高中高三年级模拟考试
数学
参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。）
9．AC 10．BCD 11．BC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12． 13．；（写对一个方程给3分，写对两个方程5分） 14．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或漬算步骤。）
15．（13分）
（1）连接，在长方体中，
由可得，底面是正方形，
所以．
又平面，而平面，所以
，，平面
所以平面．
无论点在线段上如何移动，平面，
故．
（2）分别以，，所在直线为，，轴建立直角坐标系，并连接，
于是，，，
故，，，
设，
解得
令得，
，
由图可知，二面角的余弦值为钝角，故余弦值为．
16．（15分）（1）当时，拋物线方程为，焦点，
因为直线的斜率为1，所以直线的方程为，
联立，得：，即，整理得，
由韦达定理可知，
根据抛物线的弦长公式得：．
（2）焦点，设直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消去得：，
于是．
故，
因为，直线的斜率为，
同理可得．
四边形的面积，
即，
由均值不等式，，当时，即时，等号成立．
故有，此时．
17．（15分）
（1）由题意，
又由已知，
所以．
结合倍角公式有，
又，故，解得．
又，所以，
（2）因为，，由正弦定理得：，
则，．
易知，
所以．
因为为锐角三角形，所以
解得：．
于是，
所以．
则．
所以的取值范围是．
（3）由题意，，
可得：．
由为中点得，，
两边平方得：
代入并整理：，
由余弦定理：，
所以．
18．（17分）（1）由题意，，
当时，，故在上单调递增；
当时，
令，解得，在上单调递增；
令，解得，在上单调递减．
（2）当时，不等式可化为，
令，，
，，单调递减，
，，单调递增，
所以，
设，
，
，，单调递增，
，，单调递减，
易知当时，；
所以的取值范围是．
（3）由题意，，易知为递增函数，
又，且，故，
又，
故，使得，，
，，单调递减，
，，单调递增，
，
令，，，
故单调递减，
所以，
又，故，使得，
又，令，，
，
为单调递增函数，
所以，
所以，
故，使得，
综上，函数有，两个大于1的零点．
19．（17分）（1）①由题意，抽到6号的概率为，抽到号的概率为；抽取3次后，总积分为4分，应满足恰好抽到1次6号代币，2次1－5号代币．
总积分为4分的概率为：，
②根据题意，3次抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，有3种情况
三次均未抽到6号：，
三次中有一次抽到6号：，
三次中有两次抽到6号，只能第一次和第三次抽到6号：，．
（2）设抽到6号次，则，
得①
因为个6号不连续，故至少有次抽到其他号码，
所以有，即②
又③
联立①②③，解得．
故的最大值为7，此时：共种抽取方法．
（3）第次抽取后处于安全积累状态，分两种情况：
第一种情况：第次抽1∼5号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为；
第二种情况：第次抽6号，其概率为，第次抽1-5号，概率为，前次抽取后处于安全积累状态的概率为，概率为；
故，
．
所以当时，，
当时，由（1）知，，
故，当时，．