西藏自治区林芝市2025-2026学年第二学期高三模拟考试数学试题（含解析）高考模拟

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程，求解得到的值.
【详解】平面向量共线的充要条件为：若，且，则.
已知，，且，
将坐标代入上述充要条件可得： 整理得，解得.
2. 若，则的真子集个数为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【详解】因为，所以，
所以的真子集个数为个
3. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B；
又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合．
4. 已知的展开式中的系数为35，则展开式中所有项的系数和为（ ）
A. -90B. 97C. 160D. -145
【答案】C
【解析】
【分析】先利用二项式展开式的通项，拆分出项的构成，列方程求出参数的值，再通过赋值法（令）计算展开式所有项的系数和.
【详解】的展开式通项为.
中项由两部分构成：与.
因此的系数为.
由题意，解得.
令，得展开式所有项的系数和为.
5. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，结合韦达定理构造一元二次方程求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，由题意可知.
因为是递增的等比数列，所以，
又，所以，是方程的两根，解得，.
所以，所以.
故选：C.
6. 直线被圆截得的弦长为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【详解】圆的圆心为，在直线上，
圆的半径为，两平行直线与的距离为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线被圆C截得的弦长.
7. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由已知得，的面积，
所以.
由余弦定理得，，
所以.
因为，所以，
化简得，，
即，
解得，或.
因为，所以，所以.
8. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设点在第一象限，求出点的方程，再根据即可求出.
【详解】不妨设点在第一象限，
由题意得，，
设，则，
故直线的方程为，令，则，故；
直线的方程为，令，则，故，
因为，则，得，
则的离心率为.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分．
9. 已知复数，，则（ ）
A. B. 是纯虚数
C. D.
【答案】BC
【解析】
【详解】因为，则，故A错误；
是纯虚数，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 不等式的解集为D. 不等式的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D.
【详解】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确；
对于选项B：由题意可得，
故，，则，故B错误；
对于选项C：，由，故，即，
所以不等式的解集为，故C错误；
对于选项D：，
由，则该不等式解集为，故D正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的单调递减区间是
B. 曲线在处的切线与直线垂直
C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为
D. 若过点可以作曲线的三条切线，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数单调性与导数的关系可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；由导数的几何意义以及数形结合可判断C选项；设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，并将点的坐标代入切线方程得，令，利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，，
由可得，故函数的单调递减区间是，A对；
对于B选项，因为，且，
故曲线在处的切线方程为，B错；
对于C选项，由可得，故函数的单调递增区间为，
故函数的极大值为，作出函数的图象如下图所示：
由于，故当点与原点重合时，点P到直线距离取最小值，
且最小值为，C对；
对于D选项，设切点为，则切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，可得，
令，其中，则，
由可得或，由可得，
所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，
故函数的极小值为，极大值为，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，D对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 计算________．
【答案】5
【解析】
【详解】
13. 在中，若，则角________．
【答案】
【解析】
【详解】由题知，
根据正弦定理可得，
由余弦定理可知，将上述等式代入，得，
又，故.
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可.
【详解】对求导，
可得，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式及前项和公式进行基本量的计算，求得，从而得到的通项公式；
（2）由（1）的结论求得等差数列的前项和，从而得到，根据裂项相消求和法，可求得数列的前项和．
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，
即，解得.
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以.
所以
.
16. 教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如表：
用频率估计概率．
（1）从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率；
（2）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）
（2）的分布列为：
数学期望
【解析】
【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解；
（2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望；
【小问1详解】
由题意，可估计从该校的男生中任选一人“运动不达标”的概率为，
设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件，
则；
【小问2详解】
由表中数据可估计从该校男生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为，
随机变量的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为
数学期望.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，、分别为，中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若点E为中点，求直线与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直；
（2）取线段的中点，过点作，垂足为，求证以及平面，结合长度信息求出即可.
【小问1详解】
因为侧面为正三角形，为的中点，所以，
因为是矩形，且分别为中点，所以，
因为平面POG,PO∩OG=O ，所以平面，
因为平面，所以平面平面
【小问2详解】
取线段的中点，过点作，垂足为，连接，
因为E为中点，所以，
因为底面为矩形，所以BC//AD,BC=AD ，
因为为中点，所以，
则四边形为平行四边形，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，
所以在Rt△POC 中，
因为，所以在Rt△PCD 中，，
因为，，
所以，
则，则，
则直线与平面所成角的余弦值为.
18. 设抛物线：（）的焦点为，是上一点且，过抛物线的焦点作直线，且直线与抛物线相交于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）当最小时，求直线的方程；
（3）设为原点，直线分别交直线，于点和．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义可得2，代入可得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理得到两根关系，利用抛物线焦半径性质，结合的结论，将目标式转化为单变量函数，利用基本不等式求最小值，得到等号成立条件后反推直线参数，最终得到直线方程；
（3）先求出点的坐标，设以为直径的圆经过轴上的两个定点，，根据写出圆的方程，运用韦达定理和椭圆方程化简可求得、的坐标，即可证明圆恒过这两个定点.
【小问1详解】
由抛物线的定义可得，解得2.
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知抛物线的焦点，
设直线的方程为，，.
联立直线与抛物线的方程，
可得.
所以，.
根据抛物线的定义，，，
又因为，所以.
.
根据基本不等式可得，
当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当且时等号成立.
联立，解得或
当，时，；
当，时，.
所以直线的方程为，即.
【小问3详解】
已知，，则直线的方程为，直线的方程为.
令，可得，.
根据圆的性质，若点在以为直径的圆上，则.
所以.
又因为，所以，
代入上式可得.
由（2）可知，代入上式可得，即，
解得或.
所以以为直径的圆经过轴上的两个定点和.
19. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出；
（2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可．
（3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
，
所以，．
【小问2详解】
由伴随向量的定义可知，
又，
所以可得，解得，因此，
所以，
即，设点，
又，由，
得，
展开并化简可得（*），令，且，
方程变为，即，
解得，又，所以，此时且，
所以，对应，即．
【小问3详解】
函数为向量的伴随函数，所以，
又关于的方程为，
所以可得，
即，
记，
化简得，作出函数的图像，
方程在上有且仅有四个不相等的实数根，
等价于图象与直线有四个交点，故，
即．男生（人）
女生（人）
运动达标
80
40
运动不达标
20
60