四川省成都石室中学2026届高三适应性考试（一）数学试卷及解析

这是一份四川省成都石室中学2026届高三适应性考试（一）数学试卷及解析，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集 U={x∈Zx∣≤3} ，集合 A={−3,2,3},B={−3,0,2} ，则 ∁UA∪B= ( )
A. {−3,0,2,3} B. {−2,−1,1} C. {−3,2} D. {0,3}
2. 若复数 z 满足 z⋅2−3i=3−2i2 ( i 是虚数单位),则 z= ( )
A. 2−3i B. −2−3i C. 2+3i D. −2+3i
3. 为了研究 A,B 两个机器人专卖店的销售状况,统计了 2025 年 1 月至 6 月 A,B 两个专卖店每月的营业额(单位:万元)，得到如下表格，则下列说法正确的是( )
A. A 专卖店营业额的平均值小于 B 专卖店营业额的平均值
B. B 专卖店营业额逐月上升
C. A 专卖店营业额的中位数为 21 万元
D. A 专卖店营业额的极差大于 B 专卖店营业额的极差
4. 已知 sinθ+sinθ+π3=1 ,则 cs2θ+π3= ( )
A. −33 B. 33 C. −13 D. 13
5. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的渐近线方程为 y=±12x,A,B 分别为双曲线 C 的左右顶点，点 P 在双曲线上 (异于 A,B 两点)，则直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为( )
A. 4 B. -4C. 14 D. −14
6. 已知奇函数 fx 满足 fx+2=−fx ,当 x∈[0,1) 时， fx=4x+a ，则 f101.5= ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
7. 已知在正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4,A1B1=2 ，若存在一个球与此正四棱台的各个面都相切， 则此正四棱台的体积为( )
A. 5623 B. 5633 C. 11223 D. 11233
8. 不等式 ex−lnx+1+x−lna≥ax+1 恒成立，则 a 的取值范围为( )
A. (0,1] B. 0,1 C. (0,e−1] D. 0,e−1
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,若 S3=9,S6=36 ,则()
A. a4=9 B. a2n=2an+1
C. 数列 S2n 为等比数列 D. 数列 −1nSn 的前 2n 项和为 n
10. 已知函数 fx=13x3+ax2−xa∈R ,则( )
A. 当 a=0 时,函数 fx 有最大值
B. 若函数 fx 图象的对称中心为 1,f1 ,则 a=−1
C. 函数 fx 在 R 上一定存在减区间
D. 函数 fx 可能有 2 个零点
11. 已知点 F12,0 为抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点，点 A,B 分别为抛物线 C 上两点，过 A,B 两点分别作抛物线 C 的切线，两条切线相交于点 S ，设线段 AB 的中点为 M ，则下列说法正确的是( )
A. 若点 N1,1 ，则 AN+AF 的最小值为 3
B. 点 S 与点 M 的纵坐标相等
C. 若点 S 在直线 x=−2 上,则直线 AB 过点 2,0
D. 若 A,F,B 三点共线,则 △ABS 的面积的最小值为 1
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 a,b 满足 a=2,b=4,a 与 b 的夹角为 π3 ，若 ka−b⊥a+b ，则 k= _____.
13. 曲线 fx=xlnx 上的点到直线 x−y−2=0 的最短距离为_____.
14. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=AD=6 ， M 为棱 BC 的中点，动点 P 在平面 DCC1D1 内，且满足 ∠APD=∠CPM ，则四棱锥 P−ADCM 的体积的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (本小题 13 分) 已知 △ABC 的面积为 S ,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 3a2−b2−c2=4S .
(1)求 A ；
(2)若 csB=1314,a=7,∠BAC 的角平分线交 BC 于点 D ，求线段 AD 的长.
16. (本小题 15 分) 在四棱锥 P−ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， ΔPAD 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形, M 是 PD 的中点,且 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 64 .
(1)求证: AM⊥PC ；
(2)求平面 ABM 与平面 PBC 夹角的余弦值.
17.成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布 ξ∼N85,16 ,通过分析,车速保持在 81,93 之间,可令道路保持良好的行驶状况,故认为车速在 81,93 之外的车辆需矫正速度 (速度单位: km/h ).
(1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率；
(2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对 200 辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格:
若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率, 从该三环路上的所有车辆中任取三辆, 记其中需要矫正速度的车辆数为 η ,求 η 的分布列和方差.
附:若 ξ∼Nμ,σ2 ,则 Pμ−σ0 的方程还可以由椭圆的第二定义得到,即椭圆 C 上的动点 M 满足: 到一个定点 Fc,0c>0 的距离与到不经过这个定点的一条定直线 x=a2c 的距离之比是一个常数 ca ,其中 a2=b2+c2 .
【信息 2】由椭圆的光学性质得到: 从焦点 F1 处发出的一束光线,射向椭圆 C 上的点 P1 ,经椭圆反射后经过焦点 F2 ; 继续传播,射向椭圆 C 上的点 P2 ,经椭圆反射后经过焦点 F1 ; 如此反复. 设第 n 次入射点为 Pnn∈N∗ ,规定: 当 n 为奇数时, An=F2Pn,Bn=F2Pn+1 ; 当 n 为偶数时, An=F1Pn,Bn=F1Pn+1 . 已知椭圆 C 的焦点为 F1−1,0 和 F21,0 ，点 M 在椭圆 C 上，且 ΔMF1F2 的面积的最大值为 22 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)探究 1A2n−1+1B2n−1n∈N∗ 是否为定值？请说明理由；
(3)若 A1=3 ，求证:数列 An−4An−2 是等比数列，并求数列 1An 的通项公式.
月份。 营业额
1
2
3
4
5
6
A 专卖店
5
9
18
24
23
37
B 专卖店
6
8
26
20
38
34
车速
(73,77]
(77,81]
(81,85)
(85,89]
(89,93]
(93,97]
车辆数
8
25
68
73
19
7