新疆维吾尔自治区2026届高三下学期三月适应性检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份新疆维吾尔自治区2026届高三下学期三月适应性检测数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 已知，，则， 函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
数学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.
2.作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知、，集合，，若，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【详解】已知集合，，且，所以，即.
若，则，此时，，与矛盾，舍去.
若，则，此时，，符合条件.
综上所述，.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，则向量，，
又因为，所以，解得.
3. 函数在区间上的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【详解】因为函数，所以，
在区间上，因为，所以，
所以在上单调递增，
所以最大值在处取得，.
4. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】双曲线方程标准化，由，得（）.
，所以，即，解得.
5. 有5辆车停放在一排5个相邻车位上，若甲车与乙车相邻停放，则不同停放方法的总数为（ ）
A. 24B. 48C. 72D. 120
【答案】B
【详解】将甲、乙视为一个“整体”（捆绑），甲、乙内部有2种排法（甲左乙右或乙左甲右），
把“甲乙整体”与另外3辆车看成4个元素一起排列，有种排法，
所以总的停放方法是种.
6. 定义在上的函数满足，若函数与的图象有8个交点，则交点横坐标的和为（ ）
A. 24B. 12C. 8D. 6
【答案】B
【详解】因为函数满足，所以的图象关于直线对称；
同时函数的图象也关于直线对称.
若有8个交点，可分成关于直线对称的4对，每对交点的横坐标的和为，
所以所有交点横坐标的和是.
7. 已知三棱锥，平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】在中，设其外接圆半径，
，，，
根据正弦定理，所以.
因为平面，所以外接球球心到平面的距离.
设外接球半径为R，根据勾股定理，代入解得，
因此外接球表面积.
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】.
，
因为，所以，
因为，所以，所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. （多选）已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D. 的最大值为2
【答案】ABD
【详解】设复数（a，），由可得，.
选项A：，正确；
选项B：，正确；
选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误；
选项D：，
因为，当时，的最大值为，正确.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度
C. 的单调递增区间为
D. 若方程在上有且只有个根，则
【答案】ACD
【详解】由图象知函数的振幅，
因为图象过，所以，可得，
又因为，所以，
因为图象过，所以，
解得，
又因为函数的周期有，即，解得，
所以，
对于A选项，，正确；
对于B选项，，
将函数的图象向右平移个单位长度得到，错误；
对于C选项，令，
解得，
即函数的单调递增区间为，正确；
对于D选项，由得，
解得或，即或，
在上的根依次为、、、、、、、，
有且只有个根，则第个根是，所以，正确.
11. 在棱长均相等的正三棱柱中，D是的中点，过点，D与平行的平面为，则（ ）
A. B. 平面截该三棱柱所得截面为直角三角形
C. 平面平面D. 到平面的距离是棱长的
【答案】ABD
【详解】设正三棱柱的棱长为a，，如图所示：
建立空间直角坐标系：设D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，
则，，，，.
平面过、D且平行于，，
设平面内一点，，，
设平面的一个法向量为，
由，取.
A：，，，所以，正确；
B：因为，所以平面与棱柱交于，三边长为、、，满足勾股定理，即为直角三角形，正确；
C：因为平面平面，可得平面的一个法向量为，，即平面与平面不垂直，错误；
D：平面，到平面的距离等于B到平面的距离，即距离，是棱长的，正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________
【答案】
【详解】由余弦定理可得，所以
的面积为
所以 即，由
所以
故答案为：
13. 若函数为偶函数，则_____．
【答案】1
【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，
．
考点：函数的奇偶性．
14. 已知椭圆C：，过左焦点F的直线l与椭圆C交于，两点（点A位于x轴上方），若，则直线l的斜率为_______.
【答案】
【详解】由知椭圆的左焦点F的坐标为.
如图，
设过点F的直线l的斜率为k，则直线l的方程为.
设、（因为点A位于x轴上方，所以）.
因为，，，
所以，即，整理得.
将代入椭圆方程，整理得，
则，，
由解得，
所以，解得.
因且，故，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为，是首项为1，公差为的等差数列.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
∵是首项为1，公差为的等差数列，
∴，则，
当时，；
当时，，
则，
显然也满足上式，则.
【小问2详解】
由，
则
.
16. 如图，在多面体中，四边形，均为矩形，，，点为线段上一点，且平面.
（1）若平面，求证：点是的中点；
（2）若直线与平面所成角的大小为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
连接，交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
在矩形中，点为线段的中点，
点是的中点.
【小问2详解】
平面，
为直线与平面所成的角，
，
又平面，，
故为等腰直角三角形，
.
在中，，，，
，
且，
.
17. 某市为提升学生们的数学素养，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，已知共有10000名学生参加了比赛，现从参加比赛的全体学生中随机抽取100人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
（1）若规定成绩较高的前30%的学生获奖，请求出a的值并估计获奖学生的最低分数线；
（2）现从成绩位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中成绩落在内的人数为X，求X的分布列；
（3）由频率分布直方图可认为该市全体参赛学生的成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且.从该市所有参赛学生中任取一人，试估计该生的成绩高于85.6分的概率.
［参考数据：；若，则，，］
【答案】（1），76分
（2）分布列见解析 （3）
【小问1详解】
由频率分布直方图易知，，
解得，
由图知的频率为0.04，的频率为，
的频率为0.54，
∴获奖学生最低分数线落在内，不妨设为x，
则，解得，
∴估计获奖学生的最低分数线为76分.
【小问2详解】
由图可知，与的频率之比是，
根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取3人，在内抽取4人，在内抽取1人.
则X的可能取值为0，1，2，
易知，，，
∴X分布列为
【小问3详解】易知平均值为，
即可得，
∴.
18. 函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，证明：.
（参考数据：）
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增
（2）证明见解析
【小问1详解】
函数的定义域为，，
令，则，，
当时，只有一个正实数解，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
因为函数有两个极值点，，所以在有2个根，
所以，所以，.
，
，
要证，即证，
也即.
令，，
则，
令，，则，
令，，则，
当时，，所以在区间上单调递增，，
又，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增，，
所以在上单调递减，
所以，
因此若函数有两个极值点，，则.
19. 如图（1），四边形是一个矩形，，，M，N分别是，的中点，以某动直线l为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点M都落在边上，记为.过作垂直于交直线l于点P，设点P的轨迹是曲线E.以的中点O为原点，平行于的直线为x轴，直线为y轴建立直角坐标系，如图（2）所示.
（1）求曲线E的方程；
（2）若点Q在圆：上，，是曲线E的两条切线，K，I是切点，求面积的最小值.
【答案】（1）（）
（2）4
【小问1详解】
连接，由l是线段的垂直平分线得，即点P到点M的距离与点P到直线的距离相等，于是点P的轨迹是以点M为焦点，直线为准线的一段抛物线.
由于，，，
所以曲线E的方程为（）.
【小问2详解】
由（1）知，抛物线方程为，
设，，.
∵，即，
∴，则抛物线在点K处的切线方程为，
同理，抛物线在点I处的切线方程为，
又∵点Q在切线上，则，.
于是，是方程的解，
直线的方程为，即.
设点Q到直线的距离为d，则，
联立，得，
∵，∴，，
，
∴，
又∵点Q在圆上，，∴，
当时，，
经验证，此时直线KI的方程为，与抛物线，有两个交点，
∴当点Q坐标为时，面积有最小值4.X
0
1
2
P