2026重庆市名校联盟高三下学期3月第一次联考试题数学含解析

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本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，须将答题卡､试卷､草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，，则（ ）
A. 5B. C. 10D. 5
【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D
2. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】B
【详解】由，则，即，解得或，
所以“”不能推出“”；“”能推出“”
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 2025年11 月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y，且
已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为如果去掉样本点后，得到的新样本的经验回归方程为则（ ）
A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7
【答案】B
【详解】由及，得，
则在新样本中，，
所以
故选：B
4. 已知平面向量，满足，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】因，.
则向量在方向上的投影向量为.
5. 函数的最小值为（ ）
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】D
【详解】因为，所以，所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以函数的最小值为49.
故选：D.
6. 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】，即，
，
令，解得：，
当时，，，则在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减；
，
即，
关于对称，
，
，即，
两边平方得，
解得，
则实数的取值范围是.
7. 已知双曲线，圆与轴交于两点，是圆与双曲线在轴上方的两个交点，点在轴的同侧，且交于点G，且M为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】如图：
因为，所以为双曲线的焦点.
因为为上的点，所以，
根据双曲线的对称性，可知点在轴上，又为的中点，所以.
所以为等边三角形，，所以.
又根据双曲线的定义，，所以，
所以.
故选：D
8. 若方程的三个根成等比数列，则公比为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【详解】由，得，所以.
设.
方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标.
因为函数的导数为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又时，，时，，
作出的大致图象，如下图：
则（*），
因为成等比数列，设公比为，
所以，，
代入（*）式得，
由，得，即，
所以，解得，
代入，可得，
整理得，解得或（舍去），则公比为.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点到直线的距离为
C. 直线与直线所成角的余弦值为
D. 直线与直线是异面直线
【答案】ABC
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
点，
对于A，，，则，A正确；
对于B，，点到直线的距离为，B正确；
对于C，，直线与所成角的余弦值，C正确；
对于D，，即，又直线，
因此直线直线，点共面，直线与直线不是异面直线，D错误.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若在上恰有三个零点，则
B. 若在上恰有三个零点，则
C. 若在单调递增，则
D. 若向左平移后的图象与图象关于对称，则
【答案】ABD
【详解】A，令，即，解得或，
当时，可得，要使在上恰有三个零点，
则需，解之可得，故A正确；
B，由A可知，
所以，
所以，故B正确；
C，由正弦函数的单调递增区间可知，
取，则，若在单调递增，则需，
因，则只需，则，则，故C错误；
D，根据平移规则可知平移后函数为，
图象与图象关于对称，则，
代入得，
化简可知，继续化简可得，故D正确.
11. 已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点，则的最小值为
B. 过作两条切线，切点分别为，则直线过定点
C. 若点是上一点，则的最大值为
D. 若点是上一点，则的最大值为
【答案】ABD
【详解】由，得，整理得，
即，因此曲线是以点为圆心，1为半径圆，
对于A，，
当且仅当是线段与圆的交点时取等号，A正确；
对于B，由H为直线上一点，设点，以线段为直径的圆
，即，
因此直线MN的方程，即，
令，解得，因此直线MN过定点，B正确；

对于C，由点是上一点，令，
因此，其中锐角由确定，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，，表示圆上点到点的距离，
取，，，则
，
当直线与圆相切于第一象限内的点时，最小，最大，
而，则，，
，因此，D正确.
三､填空题
12. 已知是等比数列的前项和，，则__________．
【答案】381
【详解】由题知，，且
因为成等比数列，
该等比数列的首项为3，公比为2，
则.
13. 的展开式中常数项为__________．
【答案】29
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，则；
令，解得，则，
所以的展开式中常数项为.
14. 在中，为边上一点，．当面积最小时，__________．
【答案】
【详解】的面积，由内角和得：，
对和分别用正弦定理，结合得：
，
又，因此：，
展开化简得：
，
代入整理得：
最小等价于二次函数（）最大，
开口向下的二次函数顶点在，即，
因此.
四､解答题：本题共5小题，共77分
15. 某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数）
（2）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）72分 （2）分布列见解析，
【小问1详解】
由题意，解得，
成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3，
因为，
所以选报物理方向的最低分在内，则，
解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分．
【小问2详解】
由题可知，成绩在区间的频数为，
成绩在区间的频数为，
利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，
成绩在的频数为，
再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为，
，
故的分布列为：
所以的数学期望为：．
16. 已知数列的前项和为，若，且．
（1）证明：为等差数列，并求．
（2）若，数列的前项和，求证：．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【小问1详解】
，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以；
【小问2详解】
，
．
17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．
（1）求证：平面；
（2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
在三棱柱中，，，
，则.
又四边形正方形，则，，所以.
又，平面，因此平面.
又平面，所以.
在等边中，为中点，则，
又，平面，所以平面.
【小问2详解】
取中点为，中点为，则，.
由（1）知，平面，平面，则.又，故.
又，平面，则平面即两两垂直.
以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为线段中点，所以.
，，.
设平面的法向量为，
则，即，故可取.
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点.

（1）若是椭圆上的一个动点，求的最大值；
（2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程；
（3）若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）或.
（3）存在定点.
【小问1详解】
，，右焦点，，
当且仅当、、共线（介于、之间）时取到，
【小问2详解】
由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到，
由可知，，
结合韦达定理，
解得，
所以直线方程为或，
【小问3详解】
当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得：
，
设，，
由韦达定理得，.
当直线平行于轴时，，因此，
此时在轴上，设.
当直线斜率不存在时，不妨设，，
则有，
解得或（舍）.下面证明点符合条件.
设直线：，要证，
即是的角平分线，只要证明.
而，
而韦达定理可得，因而得证，
综上，存在定点，
19. 已知函数（）.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和，
（ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行；
（ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值.
【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【小问1详解】
当时，，
则，
令，则，故在上递增，
又，则时，，又，故，
当时，，又，故，
故恒成立，故在上单调递增，
即函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
【小问2详解】
（ⅰ）当时，，
根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根，
故，，则，，
且有，则，
，
则，
同理
，
故函数在两点，处的切线平行；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
故在点处的切线为，，
令，则，
又，故，
故，又，且，
所以，
令，则，又，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，研发资金投入x/亿元
2
10
性能提升评估指数y
2
12
0
1
2