吉林省延边朝鲜族自治州和龙市2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ）
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
2．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．B．6C．4D．5
3．复数在复平面内对应的点为则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
5．已知向量与的夹角为，，，则( )
A．B．0C．0或D．
6．已知，，则等于（ ）．
A．B．C．D．
7．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
8．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
10．如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
11．已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．过抛物线C：（）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为______.
14．若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.
15．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________.
16．已知，满足约束条件则的最大值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝，
A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
18．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数的分布列和数学期望.
19．（12分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为.
（1）当平面平面时，求的值；
（2）当时，求二面角的余弦值.
20．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.
21．（12分）已知等比数列中，，是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
22．（10分）已知函数，．
（1）若，，求实数的值．
（2）若，，求正实数的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系
2．D
【解析】
由对数运算法则和等比数列的性质计算．
【详解】
由题意
．
故选：D．
本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．
3．B
【解析】
求得复数，结合复数除法运算，求得的值.
【详解】
易知，则.
故选：B
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.
4．B
【解析】
由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.
【详解】
因为点为中点，所以，
又因为，，
所以．
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为1．
故选：B
本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
5．B
【解析】
由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出.
【详解】
由向量与的夹角为，
得，
所以，
又，，，，
所以，解得.
故选：B
本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题.
6．B
【解析】
由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.
【详解】
由题意得 ，
又，所以，结合解得，
所以 ，
故选B.
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.
7．D
【解析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
8．B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
9．D
【解析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案.
【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；
乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确.
因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误.
故选：.
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．A
【解析】
分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
11．A
【解析】
可将问题转化，求直线关于直线的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定的取值范围即可
【详解】
可求得直线关于直线的对称直线为，
当时，，，当时，，则当时，，单减，当时，，单增；
当时，，，当，,当时，单减，当时，单增；
根据题意画出函数大致图像，如图：
当与（）相切时，得，解得；
当与（）相切时，满足，
解得，结合图像可知，即，
故选：A
本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题
12．B
【解析】
利用函数与函数互为反函数，可得，再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.
【详解】
依题意，函数与函数关于直线对称，则，
即，又，
所以，.
故选：B.
本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，根据抛物线定义和求得，从而求得直线l的倾斜角.
【详解】
分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义知，，，因为，所以，所以，即直线的倾斜角为，又直线与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为，.
故答案为：
此题考查抛物线的定义，根据已知条件做出辅助线利用抛物线定义和几何关系即可求解，属于较易题目.
14．
【解析】
若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。
【详解】
由题意得,只要即可，
，
当时，令解得，
令，解得，单调递减，
令，解得，单调递增，
故在时，有最小值，，
若恒成立，
则，解得；
当时，恒成立;
当时，，单调递增，,不合题意,舍去.
综上,实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。
15．
【解析】
利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.
【详解】
由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则
，故有，
解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为
.
故答案为：.
本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.
16．1
【解析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数的最大值．
【详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域，
由于，则，
要求的最大值，则求的截距的最小值，
显然当平行直线过点时，
取得最大值为：.
故答案为：1．
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：设特征向量为α＝对应的特征值为λ，则 ＝λ，即
因为k≠0，所以a＝2． 5分
因为，所以A＝，即＝，
所以2＋k＝3，解得 k＝2．综上，a＝2，k＝2． 20分
【解析】
试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k
考点：特征向量, 逆矩阵
点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．
18．（1）乙同学正确
（2）分布列见解析，
【解析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【详解】
（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，
，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数的取值为:.
，
，
于是“理想数据”的个数的分布列
本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
19． (1) ;(2).
【解析】
(1)平面平面,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.
【详解】
(1) 如图，以为原点，在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则
，设为平面的一个法向量,由得
,取,则
因为平面的一个法向量为由平面平面，得所以即.
(2) 设二面角的大小为，当平面的一个法向量为,
综上,二面角的余弦值为.
本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.
20．
【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵
【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得
同理可得解得，，，.因此矩阵
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
21．（1）（2）
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入bn＝an•lg2an，求出bn，利用错位相减法求出Tn．
【详解】
(1)设数列的公比为，
由题意知：，
∴，即.
∴，即.
(2)，
∴.①
.②
①－②得
∴.
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题．
22．（1）1（2）
【解析】
（1）求得和，由，，得，令，令导数求得函数的单调性，利用，即可求解．
（2）解法一：令，利用导数求得的单调性，转化为，令（），利用导数得到的单调性，分类讨论，即可求解．
解法二：可利用导数，先证明不等式，，，，
令（），利用导数，分类讨论得出函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
（1）由题意，得，，
由，…①，得，
令，则，
因为，所以在单调递增，
又，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，当且仅当时等号成立．
故方程①有且仅有唯一解，实数的值为1．
（2）解法一：令（），
则，
所以当时，，单调递增;
当时，，单调递减;
故
．
令（），
则．
（i）若时，，在单调递增，
所以，满足题意．
（ii）若时，，满足题意．
（iii）若时，，在单调递减，
所以．不满足题意．
综上述：．
解法二：先证明不等式，，，…（*）．
令，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即．
变形得，，所以时，，
所以当时，.
又由上式得，当时，，，.
因此不等式（*）均成立．
令（），
则，
（i）若时，当时，，单调递增;
当时，，单调递减;
故
．
（ii）若时，，在单调递增，
所以 ．
因此，①当时，此时，，，
则需
由（*）知，，（当且仅当时等号成立），所以．
②当时，此时，，
则当时，
（由（*）知）；
当时，（由（*）知）．故对于任意，．
综上述：．
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
试销价格(元)
产品销量 (件)