2026届河北省鹿泉一中高三下第一次测试数学试题含解析

这是一份2026届河北省鹿泉一中高三下第一次测试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，命题“”的否定为，若时，，则的取值范围为等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．
C．D．
3．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
4．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，且的图象经过第一、二、四象限，则，，的大小关系为( )
A．B．
C．D．
7．若时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从名男生，，和名女生，，中各随机选出两名，把选出的人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则和两人组成一队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3
A．B．C．D．
10．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A．B．
C．2D．
12．已知向量，是单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．记为数列的前项和，若，则__________.
14．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________.
15．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.
16．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
18．（12分）记抛物线的焦点为，点在抛物线上，且直线的斜率为1，当直线过点时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，直线与交于点，，求直线的斜率.
19．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.
20．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？
（，其中）
21．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C1的普通方程为(x-1)2 +y2 =1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）.
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程：
（Ⅱ）设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
22．（10分）已知.
（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；
（2）试讨论函数零点的个数.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解
【详解】
如图，其中，所以
.
故选：A
【点睛】
本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题
2、A
【解析】
根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.
【详解】
由题意，该几何体如图所示：
该几何体的体积.
故选：A.
【点睛】
本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．
3、A
【解析】
求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【详解】
，
若，，
在单调递增，且，
在不存在零点；
若，，
在内有且只有一个零点，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
4、B
【解析】
由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.
【详解】
解：显然是偶函数
所以只需时，有且只有2个零点即可
令，则
令，
递减，且
递增，且
时，有且只有2个零点，
只需
故选：B
【点睛】
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
5、C
【解析】
套用命题的否定形式即可.
【详解】
命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.
故选：C
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属于基础题.
6、C
【解析】
根据题意，得，，则为减函数，从而得出函数的单调性，可比较和，而，比较，即可比较.
【详解】
因为，且的图象经过第一、二、四象限，
所以，，
所以函数为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以，
又，，
则|，
即，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.
7、D
【解析】
由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.
【详解】
由题得对恒成立，
令，
在单调递减，且，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又在单调递增，，
的取值范围为.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
8、B
【解析】
根据组合知识，计算出选出的人分成两队混合双打的总数为，然后计算和分在一组的数目为，最后简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
分别从3名男生、3名女生中选2人 ：
将选中2名女生平均分为两组：
将选中2名男生平均分为两组：
则选出的人分成两队混合双打的总数为：
和分在一组的数目为
所以所求的概率为
故选：B
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成组，则要除以，即，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.
9、D
【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为：
V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．
故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．
10、B
【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位，
得到，
此时与函数的图象重合，
则，即，，
当时，取得最小值为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键．
11、A
【解析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
12、C
【解析】
设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案；
【详解】
设，，
是单位向量，,
，，
联立方程解得：或
当时，；
当时，；
综上所述：.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、-254
【解析】
利用代入即可得到，即是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可.
【详解】
由已知，得，即，所以
又，即，，所以是以-4为首项，2为公比的等比数
列，所以，即，所以。
故答案为：
【点睛】
本题考查已知与的关系求，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
14、
【解析】
求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率.
【详解】
，，解得：，
即在处的切线斜率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题.
15、
【解析】
计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.
【详解】
，所以，所以.
故答案为：-8
【点睛】
此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.
16、
【解析】
先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.
【详解】
由于，所以，所以.由正弦定理得.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）极小值点为，极小值为，无极大值；（2）证明见解析
【解析】
先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；令，问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求．
【详解】
（1）由题得函数的定义域为.
，由已知得，解得
∴，
令，得
令，得，∴在上单调递增.
令，得∴在上单调递减
∴的极小值点为，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，∴，
令，
即
∵，， ∴恒成立.
∴在上单调递增
又，∴在上恒成立
∴在上恒成立
∴， 即
∴
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
18、（1）（2）0
【解析】
（1）根据题意，设直线，与联立，得，再由弦长公式，求解.
（2）设，根据直线的斜率为1，则，得到，再由，所以线段中点的纵坐标为，然后直线的方程与直线的方程 联立解得交点H的纵坐标，说明直线轴，直线的斜率为0.
【详解】
（1）依题意，，则直线，
联立得；
设，
则，
解得，故抛物线的方程为.
（2），
因为直线的斜率为1，则，所以，
因为，所以线段中点的纵坐标为.
直线的方程为，即 ①
直线的方程为，即 ②
联立①②解得即点的纵坐标为，即直线轴，
故直线的斜率为0.
如果直线的斜率不存在，结论也显然成立，
综上所述，直线的斜率为0.
【点睛】
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.
19、 (Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．
试题解析：
（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；
又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行，故面ACG∥面BEF；
（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ，， ，，，
设面ABF的法向量为，依题意有，，令，，，，，
直线AD与面ABF成的角的正弦值是．
20、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系
【解析】
（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.
（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
【详解】
（1）由题意，解得.
（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.
完善列联表如下：
，
对照表格可知，，
不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.
【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.
21、（Ⅰ），;（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）根据，可得曲线C1的极坐标方程，然后先计算曲线C2的普通方程，最后根据极坐标与直角坐标的转化公式，可得结果.
（Ⅱ）将射线θ=分别与曲线C1和C2极坐标方程联立，可得A，B的极坐标，然后简单计算，可得结果.
【详解】
（Ⅰ）
由
所以曲线的极坐标方程为，
曲线的普通方程为
则曲线的极坐标方程为
（Ⅱ）令，则，，
则，即，
所以，，
故．
【点睛】
本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中的几何意义，属基础题.
22、（1）（2）答案不唯一具体见解析
【解析】
（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；
（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，
，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.
【详解】
解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.
令切线与曲线相切于点，则切线方程为，
∴，
∴，
令，则，
记，
于是，在上单调递增，在上单调递减，
∴，于是，.
（2），
①当时，恒成立，在上单调递增，且，
∴函数在上有且仅有一个零点；
②当时，在R上没有零点；
③当时，令，则，即函数的增区间是，
同理，减区间是，
∴.
ⅰ）若，则，在上没有零点；
ⅱ）若，则有且仅有一个零点；
ⅲ）若，则.
，
令，则，
∴当时，单调递增，.
∴
又∵，
∴在R上恰有两个零点，
综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.
【点睛】
本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.
擅长
不擅长
合计
男性
30
女性
50
合计
100
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
擅长
不擅长
合计
男性
20
30
50
女性
10
40
50
合计
30
70
100