2026届海东市重点中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届海东市重点中学高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了若复数z满足，则，设，满足，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
2．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
3．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．2B．3C．D．
5．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知函数，其中表示不超过的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域是B．是奇函数
C．是周期函数D．是增函数
8． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
9．已知是圆心为坐标原点，半径为1的圆上的任意一点，将射线绕点逆时针旋转到交圆于点，则的最大值为（ ）
A．3B．2C．D．
10．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
12．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________.
14．动点到直线的距离和他到点距离相等，直线过且交点的轨迹于两点，则以为直径的圆必过_________.
15．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值．
18．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：
并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．
（i）求这人中，男生、女生各有多少人？
（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
临界值表：
19．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
20．（12分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式．
21．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
22．（10分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．
（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
2、A
【解析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．
【详解】
解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由得，
由得，平移，
易知过点时直线在上截距最小，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
3、D
【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.
【详解】
由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,
所以所求概率,
故选:D
【点睛】
本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.
4、B
【解析】
运行程序，依次进行循环,结合判断框，可得输出值.
【详解】
起始阶段有，，
第一次循环后，，
第二次循环后，，
第三次循环后，，
第四次循环后，，
所有后面的循环具有周期性，周期为3，
当时，再次循环输出的,，此时，循环结束，输出，
故选：B
【点睛】
本题主要考查程序框图的相关知识，经过几次循环找出规律是关键，属于基础题型.
5、D
【解析】
先化简得再求得解.
【详解】
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6、C
【解析】
将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：
，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
【点睛】
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
7、C
【解析】
根据表示不超过的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.
【详解】
由表示不超过的最大正整数，其函数图象为
选项A，函数，故错误；
选项B，函数为非奇非偶函数，故错误；
选项C，函数是以1为周期的周期函数，故正确；
选项D，函数在区间上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.
故选：C
【点睛】
本题考查对题干的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.
8、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
9、C
【解析】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由三角函数的定义得，，，利用辅助角公式计算即可.
【详解】
设射线OA与x轴正向所成的角为，由已知，，
，所以
，
当时，取得等号.
故选：C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.
10、C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
11、C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
12、A
【解析】
先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.
【详解】
解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则.
解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值.
故选：A
【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值.
【详解】
建立平面直角坐标系，如图（1）所示：
设，
，
，
即，
又，
令，其中，
画出图形，如图（2）所示：
当直线经过点时，取得最大值.
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.
14、
【解析】
利用动点到直线的距离和他到点距离相等，,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将 ,代入,利用韦达定理,可得 ,从而可知以为直径的圆经过原点O.
【详解】
设点，由题意可得，，，可得，设直线的方程为，代入抛物线可得
，，
，
，以AB为直径的圆经过原点.
故答案为：（0,0）
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.
15、2
【解析】
根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.
【详解】
据题设分析知，，所以，得，
所以双曲线的离心率.
【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16、
【解析】
令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．
点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）利用二次求导可得，所以在上为增函数，进而可得函数的单调增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）利用导数可得在区间上存在唯一零点，所以函数在递减，在，递增，则，进而可证；（Ⅲ）条件等价于对于恒成立，构造函数，利用导数可得的单调性，即可得到的最小值为，再次构造函数（a），，利用导数得其单调区间，进而求得最大值．
【详解】
（Ⅰ）当时，，
则，所以，
又因为，所以在上为增函数，
因为，所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
即函数的单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ），
则令，则（1），，
所以在区间上存在唯一零点，
设零点为，则，且，
当时，，当，，，
所以函数在递减，在，递增，
，
由，得，所以，
由于，，从而；
（Ⅲ）因为对于恒成立，即对于恒成立，
不妨令，
因为，，
所以的解为，
则当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以的最小值为，
则，
不妨令（a），，
则（a），解得，
所以当时，（a），（a）为增函数，
当时，（a），（a）为减函数，
所以（a）的最大值为，
则的最大值为．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
18、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列见解析．
【解析】
（1）根据所给数据可完成列联表．由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这样不达标人数随之而得，然后计算可得结论；
（2）由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，的可能值为0，1，2，分别计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望．
【详解】
（1）列出列联表，
，
所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关．
（2）（i）在“锻炼达标”的学生中，男女生人数比为，
用分层抽样方法抽出人，男生有人，女生有人．
（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，人中女生的人数为，
则的可能值为，，，
则，，，
可得的分布列为：
可得数学期望．
【点睛】
本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望．主要考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．
19、 (1);(2) .
【解析】
分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得，从而得到，故得．
详解：(1)由题意及正、余弦定理得，
整理得，
∴
（2）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴.
由余弦定理得，
∴，
，当且仅当时等号成立．
∴．
∴面积的最大值为．
点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．
（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．
20、 (1)（2）
【解析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{an}的公比为q，则q+q2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求an=a1•qn-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和
解：（1）
（2），
两式相减：
21、（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
22、（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； （2）见解析.
【解析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n＝1时，X的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可．
【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率，
有3个坑要补播种的概率为.
欲使最大，只需，
解得，因为，所以
当时，；
当时，；
所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.
（2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，1.，
所以的分布列为
的数学期望.
【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．
0.10
0.05
0.025
0.010
0
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
3
1