2026届贵州省遵义市遵义市第四中学高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届贵州省遵义市遵义市第四中学高三最后一模数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了设全集，集合，，则集合，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）
A．正相关，相关系数的值为
B．负相关，相关系数的值为
C．负相关，相关系数的值为
D．正相关，相关负数的值为
2．复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图像，可将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
5．设全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
6．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A．2B．3C．5D．8
9．半径为2的球内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
11．已知角的终边经过点P()，则sin()=
A．B．C．D．
12．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
14．已知函数，若，则___________.
15．已知数列的前项和为，且满足，则______
16．展开式中的系数为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为，求的分布列；
（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.
①求；
②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列的通项公式.
18．（12分）己知等差数列的公差，，且，，成等比数列.
（1）求使不等式成立的最大自然数n；
（2）记数列的前n项和为，求证：.
19．（12分）设为实数,已知函数,．
（1）当时,求函数的单调区间：
（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;
（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．
20．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
（1）求的解析式；
（2）作出在上的图象（要列表）．
21．（12分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，.
（1）求；
（2）设为中点，求的长.
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.
（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；
（2）求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据正负相关的概念判断．
【详解】
由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C．
【点睛】
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
2、D
【解析】
由复数除法运算求出，再写出其共轭复数，得共轭复数对应点的坐标．得结论．
【详解】
，，对应点为，在第四象限．
故选：D.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，考查复数的几何意义．掌握复数的运算法则是解题关键．
3、C
【解析】
显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.
【详解】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
4、C
【解析】
依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，再根据三角函数的平移规则计算可得；
【详解】
解：由已知得，是的一条对称轴，且使取得最值，则，，，，
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.
5、C
【解析】
∵集合，，
∴
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.
6、C
【解析】
∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，为减函数，∵f（lg32）=f（2-lg32）= f（）
且==lg34，lg34＜＜3，∴b＞a＞c，
故选C
7、C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.
【详解】
由题意可得，则.
故选:C.
【点睛】
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
8、D
【解析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】
解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
9、B
【解析】
设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，利用，可得，进一步得到侧面积，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为，底面边长与高分别为，则，
在中，，化为，
，
，
当且仅当时取等号，此时.
故选：B.
【点睛】
本题考查正三棱柱与球的切接问题，涉及到基本不等式求最值，考查学生的计算能力，是一道中档题.
10、A
【解析】
根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.
【详解】
当为奇数时，，
则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，
当为偶数时，，
则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.
所以
.
故选：A
【点睛】
本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
11、A
【解析】
由题意可得三角函数的定义可知：
，，则：
本题选择A选项.
12、A
【解析】
设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.
【详解】
设，直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，
故该双曲线的离心率.
故选：.
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据7，9，，8，10的平均数为9，
则，解得：，
则其方差.
故答案为：1．
【点睛】
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题．
14、
【解析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.
【详解】
因为函数，其定义域为，
所以其定义域关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，因为，
所以.
故答案为:
【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
15、
【解析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.
【详解】
解：，可得时，，
时，，又，
两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．
【点睛】
本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.
16、30
【解析】
先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．
【详解】
由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，
由于二项式的通项公式为，
令，得展开式的的系数为，
令，得展开式的的系数为，
所以展开式中的系数，
故答案为30.
【点睛】
本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）分布列见解析；（2）①；②，.
【解析】
（1）经过1轮投球，甲的得分的取值为，记一轮投球，甲投中为事件，乙投中为事件，相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得，由两轮的得分可计算出，计算时可先计算出经过2轮后甲的得分的分布列（的取值为），然后结合的分布列和的分布可计算，
由，代入，得两个方程，解得，从而得到数列的递推式，变形后得是等比数列，由等比数列通项公式得，然后用累加法可求得．
【详解】
（1）记一轮投球，甲命中为事件，乙命中为事件，相互独立，由题意，，甲的得分的取值为，
，
，
，
∴的分布列为：
（2）由（1），
，
同理，经过2轮投球，甲的得分取值：
记，，，则
，，，，
由此得甲的得分的分布列为：
∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴数列是等比数列，公比为，首项为，
∴．
∴．
【点睛】
本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
18、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据，，成等比数列，有，结合公差，，求得通项，再解不等式.
（2）根据（1），用裂项相消法求和，然后研究其单调性即可.
【详解】
（1）由题意，可知，
即，
∴.
又，，∴，
∴.
∴，
∴，
故满足题意的最大自然数为.
（2），
∴.
.
.
从而当时，单调递增，且，
当时，单调递增，且，
所以，
由，知不等式成立.
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）
【解析】
（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;
（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;
（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围
【详解】
解：（1）当时,因为,当时,;
当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．
（2）由,得,由于,
所以对任意的及任意的恒成立,
由于,所以,所以对任意的恒成立,
设,,
则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以．
（3）由,得,其中．
①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;
②若时,令,得．
由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．
所以,存在,使得,即, ①
且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,
所以．②
设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,
又由①式,得．
由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,
即．
当时,
（ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;
（ⅱ）由于,令,
设,,
由于时,,,所以设,即．
由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点．
综上,．
【点睛】
本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.
20、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.
【详解】
（1）因为函数的最小正周期是，所以．
又因为当时，函数取得最大值，所以，
同时，得，
因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
列表如下：
描点、连线得图象：
【点睛】
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）直接根据特殊角的三角函数值求出，结合正弦定理求出；
（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵，且，∴，由正弦定理
，∴，
∵
∴锐角，∴
（2）∵，
∴
∴
∴在中，由余弦定理得
∴
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
22、（1）：，：；（2）
【解析】
（1）根据点斜式写出直线的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用，将曲线的参数方程转化为普通方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与系数关系，求得的值.
【详解】
（1）的直角坐标方程为，即，
则的极坐标方程为.
曲线的普通方程为.
（2）直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），
代入曲线的普通方程，得.
设，对应的参数分别为，，所以，在的两侧.则.
【点睛】
本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程，考查直线参数的几何意义，属于中档题.
－1
0
1
－2
－1
0
1
2