2026届河北省高碑店一中高三最后一模数学试题含解析

这是一份2026届河北省高碑店一中高三最后一模数学试题含解析，共34页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若，则，已知命题p等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则的最小值为( )
A．B．C．D．
4．已知实数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：
根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )
A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年
C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年
6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ）
A．18B．17C．16D．15
7．若，则( )
A．B．C．D．
8．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
9．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有
A．72种B．36种C．24种D．18种
10．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
11．已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是
A．B．
C．D．
12．已知函数（）的最小值为0，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则=____， = ___.
14．平面区域的外接圆的方程是____________.
15．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
16．已知函数，则不等式的解集为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）若，时，在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，，，求证：当时，．
18．（12分）设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
19．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的单调区间；
（2）设函数，证明时， .
20．（12分）已知椭圆（）的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（12分）平面直角坐标系中，曲线：.直线经过点，且倾斜角为，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．
22．（10分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；
记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.
记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.
（1）设，，请计算，，；
（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；
（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题.
2、A
【解析】
作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.
【详解】
作于,于.
因为平面平面,平面.故,
故平面.故二面角为.
又直线与平面所成角为,因为,
故.故,当且仅当重合时取等号.
又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.
故.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.
3、C
【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.
【详解】
由于
，
故其最小值为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.
4、C
【解析】
利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
解：对于实数， ，不成立
对于不成立．
对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．
对于指数函数单调递减性质，因此不成立．
故选：．
【点睛】
利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
5、D
【解析】
先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．
【详解】
解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，
则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，
将图3近似画出如下平面几何图形：
则，，
．
，
估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．
故选：．
【点睛】
本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．
6、B
【解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7、D
【解析】
直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果．
【详解】
∵，
∴，
故选D
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8、B
【解析】
先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.
【详解】
，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.
故选:B.

【点睛】
本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.
9、B
【解析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．
【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，
若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村，
若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村，
则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.
10、D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
【点睛】
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
11、A
【解析】
求函数定义域得集合M，N后，再判断．
【详解】
由题意，，∴．
故选A．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
12、C
【解析】
设，计算可得，再结合图像即可求出答案.
【详解】
设，则，
则，
由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像，

结合图像，，得，
所以.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、128 21
【解析】
令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.
【详解】
令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.
14、
【解析】
作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：
由图可知，平面区域为，联立，解得，则点，
同理可得点、，
设的外接圆方程为，
由题意可得，解得，，，
因此，所求圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题.
15、
【解析】
从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.
【详解】
由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，
小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，
所以其概率为.
故答案为：
【点睛】
此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.
16、
【解析】
，，分类讨论即可.
【详解】
由已知，，，
若，则或
解得或，所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】
本题考查分段函数的应用，涉及到解一元二次不等式，考查学生的计算能力，是一道中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）见解析
【解析】
(1) 在上单调递减等价于在恒成立，分离参数即可解决.(2)先对求导，化简后根据零点存在性定理判断唯一零点所在区间，构造函数利用基本不等式求解即可.
【详解】
（1），时，，
，
∵在上单调递减．
∴，．
令，
，
时，；时，，
∴在上为减函数，在上为增函数．
∴，∴．
∴的取值范围为．
（2）若，，时，，
，
令，显然在上为增函数．
又，，∴有唯一零点．
且，时，，；
时，，，
∴在上为增函数，在上为减函数．
∴．
又，∴，，．
∴
．
，．
∴当时，．
【点睛】
此题考查函数定区间上单调，和零点存在性定理等知识点，难点为找到最值后的构造函数求值域，属于较难题目.
18、（1）； （2）证明见解析，.
【解析】
（1）根据离心率和的面积是得到方程组，计算得到答案.
（2）先排除斜率为0时的情况，设，，联立方程组利用韦达定理得到，，根据化简得到，代入直线方程得到答案.
【详解】
（1）由题意可得，解得，，则椭圆的标准方程是.
（2）当直线的斜率为0时，直线与直线关于轴对称，则直线与直线的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线的斜率不为0.
设，，直线的方程为
联立，整理得
则，.
因为直线与直线的斜率之和为1，所以，
所以，
将，代入上式，整理得.
所以，即，
则直线的方程为.
故直线恒过定点.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19、 (1) ;函数的单调递减区间为，单调递增区间为;(2)详见解析.
【解析】
试题分析：（1）由题得，根据曲线在点处的切线方程，列出方程组，求得的值，得到的解析式，即可求解函数的单调区间；
（2）由（1）得 根据由，整理得，
设，转化为函数的最值，即可作出证明.
试题解析：
（1）由题得，函数的定义域为， ，
因为曲线在点处的切线方程为，
所以解得.
令，得，
当时， ， 在区间内单调递减；
当时， ， 在区间内单调递增.
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）得， .
由，得，即.
要证，需证，即证，
设，则要证，等价于证： .
令，则，
∴在区间内单调递增， ,
即，故.
20、 (1) (2)见解析
【解析】
（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.
【详解】
(1)由题意可得，，又，
解得，.
所以，椭圆的方程为
(2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.
设，，定点.(依题意
则由韦达定理可得，，.
直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.
所以，，即得.
又，，
所以，，整理得，.
从而可得，，
即，
所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.
【点睛】
本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.
21、（Ⅰ）（t为参数）；（Ⅱ）或或.
【解析】
试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用，化简表达式，得到曲线的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出的值.
试题解析：（1）即,
.
（2）
,
符合题意
考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.
22、（1）（2）详见解析（3）29
【解析】
（1）将，代入，可求出，，可代入求，，可求结果．
（2）可求，，通过反证法证明，
（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．
【详解】
（1）由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，
则，，
得，
故．
（2）证明：已知．，由题意知等差数列的通项公式为：；
等差数列的通项公式为：，
得，，．
得，，，．
所以若，则存在，，使，
若，则存在，，，使，
因此，对于正整数，考虑集合，，，
即，，，，，，．
下面证明：集合中至少有一元素是7的倍数．
反证法：假设集合中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，
又因为集合中共有7个元素，所以集合中至少存在两个元素关于7的余数相同，
不妨设为，，其中，，．则这两个元素的差为7的倍数，即，
所以，与矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．
即集合中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为，，，
则存在，使，，，即，，，
由已证可知，若，则存在，，使，而，所以为负整数，
设，则，且，，，，
所以，当，时，对于整数，若，则成立．
（3）下面用反证法证明：若对于整数，，则，假设命题不成立，即，且．
则对于整数，存在，，，，，使成立，
整理，得，
又因为，，
所以且是7的倍数，
因为，，所以，所以矛盾，即假设不成立．
所以对于整数，若，则，
又由第二问，对于整数，则，
所以的最大值，就是集合中元素的最大值，
又因为，，，，
所以．
【点睛】
本题考查数列的综合应用，以及反证法，求最值，属于难题．
黄赤交角
正切值
0.439
0.444
0.450
0.455
0.461
年代
公元元年
公元前2000年
公元前4000年
公元前6000年
公元前8000年
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3