2026届河北省衡中同卷高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份2026届河北省衡中同卷高三3月份模拟考试数学试题含解析，共34页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，在中，分别为所对的边，若函数，函数的图象可能是，已知函数为奇函数，则等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ）
A．－2B．－4C．3D．－3
2．已知正项数列满足：，设，当最小时，的值为( )
A．B．C．D．
3．已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数是偶函数，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( )
A．B．C．D．
6．在中，分别为所对的边，若函数
有极值点，则的范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
8．函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
9．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )
A．B．
C．D．
12．已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．
14．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且（如图①）.将四边形沿折起，连接、、（如图②）.在折起的过程中，则下列表述：

①平面；
②四点、、、可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.
15．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.
16．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入，的值分別为4，5，则输出的值为______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：
（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值.
18．（12分）椭圆：的离心率为，点 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值.
20．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；
（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．
21．（12分）团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务，市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.
（1）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；
（2）从所调查的50家商家中任取两家，用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望；
（3）将频率视为概率，现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试求事件“”的概率.
22．（10分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
设，，设：，联立方程得到，计算
得到答案.
【详解】
设，，故.
易知直线斜率不为，设：，联立方程，
得到，故，故.
故选：.
【点睛】
本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 .
2、B
【解析】
由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由递推公式求出.
【详解】
由得，
即，
，当且仅当时取得最小值，
此时.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了数列中的最值问题，递推公式的应用，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.
3、B
【解析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.
【详解】
设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为，
则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,
故不等式的解集为.故选:.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.
4、A
【解析】
先求出的解析式，再求出的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式，从而可求其最小值.
【详解】
的图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为，
故.
令，，解得，.
因为为偶函数，故直线为其图象的对称轴，
令，，故，，
因为，故，当时，.
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量做加减，比如把的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为，另外，如果为正弦型函数图象的对称轴，则有，本题属于中档题．
5、C
【解析】
利用先求出，然后计算出结果.
【详解】
根据题意，当时，,,
故当时，,
数列是等比数列,
则，故,
解得,
故选.
【点睛】
本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
6、D
【解析】
试题分析：由已知可得有两个不等实根.
考点：1、余弦定理；2、函数的极值.
【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根，从而可得.
7、A
【解析】
求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【详解】
，
若，，
在单调递增，且，
在不存在零点；
若，，
在内有且只有一个零点，
.
故选:A.
【点睛】
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
8、A
【解析】
先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.
【详解】
函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；
当时，，排除C选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9、D
【解析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．
【详解】
当时，．
所以数列从第2项起为等差数列，，
所以，，．
，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
10、B
【解析】
根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.
【详解】
依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
11、A
【解析】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．
【详解】
由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，
底面为等腰直角三角形，斜边长为，如图：
的外接圆的圆心为斜边的中点，，且平面，
，
的中点为外接球的球心，
半径，
外接球表面积．
故选：A
【点睛】
本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．
12、D
【解析】
根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
【详解】
依题意有， ①
， ②
①②得，又因为，
所以，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选:D.
【点睛】
本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．
【详解】
设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，，∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴直线斜率为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
14、①③
【解析】
连接、交于点，取的中点，证明四边形为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接，证明出，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，连接、交于点，取的中点、，连接、，如下图所示：
则且，四边形是矩形，且，为的中点，
为的中点，且，且，
四边形为平行四边形，，即，
平面，平面，平面，命题①正确；
对于命题②，，平面，平面，平面，
若四点、、、共面，则这四点可确定平面，则，平面平面，由线面平行的性质定理可得，
则，但四边形为梯形且、为两腰，与相交，矛盾.
所以，命题②错误；
对于命题③，连接、，设，则，
在中，，，则为等腰直角三角形，
且，，，且，
由余弦定理得，，
，又，，平面，
平面，，
，、为平面内的两条相交直线，所以，平面，
平面，平面平面，命题③正确；
对于命题④，假设平面与平面垂直，过点在平面内作，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，，
，，，，，
又，平面，平面，.
，平面，平面，.
，，显然与不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.
15、x﹣y＝0.
【解析】
先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得.
故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.
故答案为：x﹣y＝0.
【点睛】
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
16、1055
【解析】
模拟执行程序框图中的程序，即可求得结果.
【详解】
模拟执行程序如下：
，满足，
，满足，
，满足，
，满足，
，不满足，
输出.
故答案为：1055.
【点睛】
本题考查程序框图的模拟执行，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1） ： ， ：；（2）
【解析】
（1）消去参数求得直线的普通方程，将两边同乘以，化简求得圆的直角坐标方程.
（2）求得直线的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.
【详解】
（1）消去参数，得直线的普通方程为，
将两边同乘以得，，
∴圆的直角坐标方程为；
（2）经检验点在直线上，可转化为①，
将①式代入圆的直角坐标方程为得，
化简得，
设是方程的两根，则，，
∵，∴与同号，
由的几何意义得.
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.
18、（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．
【详解】
（1）因为，所以， ①
又椭圆过点， 所以 ②
由①②，解得
所以椭圆的标准方程为 .
（2）证明 设直线：，
联立得，
设，
则
易知
故
所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
19、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，连接，易得，进而可证明四边形为平行四边形，即，从而可证明平面；
（2）取中点，中点，连接，易证平面，平面，从而可知两两垂直，以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面的法向量，及平面的法向量为，由，可求得平面与平面所成的二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：如图1，取的中点，连接.
，，
，，且，
四边形为平行四边形，.
又平面，平面，平面.
（2）如图2，取中点，中点，连接.
，，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
两两垂直.
以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
由，可得，
在等腰梯形中，，易知，
.
则，，
设平面的法向量为，
则，取，得.
设平面的法向量为，
则，取，得.
因为，，，所以，
所以平面与平面所成的二面角的正弦值为.
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.
20、（1）.（2）.
【解析】
（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.
（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.
【详解】
规范解答 （1） 因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，
所以＝(－1，0，0)，＝
记异面直线AC和BE所成角为α，
则csα＝|cs〈〉|＝＝，
所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.
（2） 设平面BFC1的法向量为= (x1，y1，z1)．
因为＝，＝，
则
取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．
设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．
因为＝，＝(0，0，2)，
则
取x2＝ 得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，
所以cs〈〉＝ =
根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，
所以二面角F-BC1-C的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）;（2）从而的分布列为
;（3）.
【解析】
（1）运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；（2）借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解：
（1）记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件，则
，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.
（2）由题，知的可能取值分别为0，1，2
，
，
，
从而的分布列为
.
（3）所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为，所以，所以事件“”的概率为
.
22、（1）（2）
【解析】
(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所以，代入韦达定理即可求解.
【详解】
（1）设，，则，
设，由得．
又由于，
化简得的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，
与的方程联立，消去得，
，设，，
则，，
由已知，，则
，
故直线．
，
令，则
，
由于，，
．
所以，的取值范围为．
【点睛】
此题考查轨迹问题，椭圆和直线相交，注意坐标表示向量进行转化的处理技巧，属于较难题目.
0
1
2
0
1
2