2026届海南师范大学附属中学高考数学五模试卷含解析

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1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（ ）
A．1B．C．D．
2．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）
A．120种B．240种C．480种D．600种
3．如图，在中，，且，则（ ）
A．1B．C．D．
4．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．函数在上的最大值和最小值分别为（ ）
A．，-2B．，-9C．-2，-9D．2，-2
8．命题：的否定为
A．B．
C．D．
9．如图，在正方体中，已知、、分别是线段上的点，且.则下列直线与平面平行的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面：④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
12．复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．3B．
C．2D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.
14．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______.
15．函数的极大值为________.
16．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设实数满足.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求证：.
18．（12分）已知函数，.
（1）当时，判断是否是函数的极值点，并说明理由；
（2）当时，不等式恒成立，求整数的最小值.
19．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验n次；
（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，
20．（12分）等差数列的公差为2, 分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．
21．（12分）已知函数.
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围
22．（10分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
【详解】
解：由，
得，
∵ ，
∴ ，
即
即，
则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
则，
故选D．
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
2、B
【解析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.
【详解】
将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法；
将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种
本题正确选项：
【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.
3、C
【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示，可得到的关系，再由三点共线，又得到一个关于的关系，从而可求得答案
【详解】
由，则
，即，所以，又共线，则.
故选：C
【点睛】
此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题.
4、A
【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.
【详解】
由,得,即,
所以,
所以.
故选:A
【点睛】
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
5、A
【解析】
将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.
【详解】
由于等差数列中，所以，化简得，所以为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.
6、B
【解析】
根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.
【详解】
根据题意，画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即.
由图像可知，，
所以是的一个零点，
当时，，若，
则，即，所以，解得；
当时，，
则，且
若在时有一个零点，则，
综上可得，
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.
7、B
【解析】
由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，，
作出函数的图象如下所示；
由函数图像可知，当时，有最大值，
当时，有最小值.
故选：B.
【点睛】
本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
8、C
【解析】
命题为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题的否定为，故选C．
9、B
【解析】
连接，使交于点，连接、，可证四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即可得解．
【详解】
如图，连接，使交于点，连接、，则为的中点，
在正方体中，且，则四边形为平行四边形，
且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．
10、D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
【点睛】
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
11、B
【解析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断是的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误．
【详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结，则，即与不垂直，又，①不正确；
对于②，连结，，在中，，而，是的中点，所以，②正确；
对于③由②可知，在中，，连结，易知，而在中，，，
即，又，面，平面平面，③正确；
以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系；
， ，， ， ， ；
， ；
异面直线与所成角为，，故．④不正确．
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
12、D
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.
【详解】
，
所以，，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．
【详解】
设切点坐标为，，，，
则曲线在点处的切线方程为，
由于该直线过原点，则，得，
因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：
（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；
（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；
（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．
14、1
【解析】
该程序的功能为利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】
模拟程序的运行，可得：，，
不满足条件，执行循环体，，，
不满足条件，执行循环体，，，
不满足条件，执行循环体，，，
不满足条件，执行循环体，，，
此时满足条件，退出循环，输出的值为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.
15、
【解析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.
【详解】
依题意，得.
所以当时，；当时，.
所以当时，函数有极大值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.
16、
【解析】
利用复数的乘法求解再根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】
解：复数为纯虚数,
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了根据复数为纯虚数求解参数的问题,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）依题意可得，考虑到，则有再分类讨论可得；
（2）要证明，即证，即证.利用基本不等式即可得证；
【详解】
解：（1）由及，得，
考虑到，则有，它可化为
或
即或
前者无解，后者的解集为，
综上，的取值范围是.
（2）要证明，即证，
由，得，即证.
因为（当且仅当，时取等号）.
所以成立，
故成立.
【点睛】
本题考查分类讨论法解绝对值不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
18、（1）是函数的极大值点，理由详见解析；（2）1.
【解析】
（1）将直接代入，对求导得，由于函数单调性不好判断，故而构造函数，继续求导，判断导函数在左右两边的正负情况，最后得出，是函数的极大值点；
（2）利用题目已有条件得，再证明时，不等式 恒成立，即证，从而可知整数的最小值为1.
【详解】
解:（1）当时，.
令，则
当时，.
即在内为减函数，且
∴当时，;当时，.
∴在内是增函数，在内是减函数.
综上，是函数的极大值点.
（2）由题意，得，即.
现证明当时，不等式成立，即.
即证
令
则
∴当时，;当时，.
∴在内单调递增，在内单调递减，
的最大值为.
∴当时，.
即当时，不等式成立.
综上，整数的最小值为.
【点睛】
本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题
19、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,则可求得,,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；
（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则,
∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,
,,
,
若,则,则,
,,
∴p关于k的函数关系式为（,且）
（ii）由题意知,得,
,,,
设（）,
则,令,则,
∴当时,,即在上单调增减,
又,,
,
又,,
,
∴k的最大值为4
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
20、（1），； （2）.
【解析】
(1)根据题意同时利用等差、等比数列的通项公式即可求得数列和的通项公式；
(2)求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求得数列的前2020项的和.
【详解】
(1)依题意得: ，
所以 ，
所以
解得
设等比数列的公比为，所以
又
(2)由（1）知，
因为 ①
当时, ②
由①②得，，即，
又当时，不满足上式，
.
数列的前2020项的和

设 ③，
则 ④，
由③④得：
，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.是中档题.
21、（1）（2）
【解析】
（1）零点分段法分，，三种情况讨论即可；
（2）只需找到的最小值即可.
【详解】
（1）由.
若时，，解得；
若时，，解得；
若时，，解得；
故不等式的解集为.
（2）由，有，得，
故实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.
22、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ)函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.
【详解】
(Ⅰ)

的最大值为最小正周期为

(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知，
,
故
故的面积的最大值为.
【点睛】
本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.