2026届贵州省仁怀四中高三第二次调研数学试卷含解析

这是一份2026届贵州省仁怀四中高三第二次调研数学试卷含解析，文件包含26届高考作文考前预测主题07人生选择与职业方向原卷版pdf、26届高考作文考前预测主题07人生选择与职业方向解析版pdf等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．展开项中的常数项为
A．1B．11C．-19D．51
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（ ）
A．若m⊥α，n//α，则m⊥nB．若m//α，n//α，则m//n
C．若l⊥α，l//β，则α⊥βD．若α//β，lβ，且l//α，则l//β
4．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
5．展开式中x2的系数为( )
A．－1280B．4864C．－4864D．1280
6．若的二项展开式中的系数是40，则正整数的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．C．7D．2
8．函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．D．
9．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示销售量），由散点图可知与的相关关系为（ ）
A．正相关，相关系数的值为
B．负相关，相关系数的值为
C．负相关，相关系数的值为
D．正相关，相关负数的值为
10．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为点，延长交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________．
14．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.
15．若，且，则的最小值是______.
16．三棱柱中， ，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
18．（12分）已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.
20．（12分）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．
21．（12分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验n次；
（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（i）试运用概率统计的知识，若，试求p关于k的函数关系式；
（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，
22．（10分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.
【详解】
展开式中的项为常数项，有3种情况：
（1）5个括号都出1，即；
（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；
（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；
所以展开项中的常数项为，故选B.
【点睛】
本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.
2、D
【解析】
分别解出集合然后求并集.
【详解】
解：，
故选：D
【点睛】
考查集合的并集运算，基础题.
3、B
【解析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识，判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理，判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.
【详解】
A．若，则在中存在一条直线，使得，则，又，那么，故正确；
B．若，则或相交或异面，故不正确；
C．若，则存在，使，又，则，故正确．
D．若，且，则或，又由，故正确．
故选：B
【点睛】
本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断，属于基础题.
4、A
【解析】
根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.
【详解】
由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.
5、A
【解析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：化简求值即可.
【详解】
根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：
化简得到-1280 x2
故得到答案为：A.
【点睛】
求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
6、B
【解析】
先化简的二项展开式中第项，然后直接求解即可
【详解】
的二项展开式中第项.令，则，∴，∴（舍）或.
【点睛】
本题考查二项展开式问题，属于基础题
7、B
【解析】
根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果．
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
故选：B
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题．
8、A
【解析】
求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.
【详解】
，故，
所以曲线在处的切线方程为：.
令，则，故切线的纵截距为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.
9、C
【解析】
根据正负相关的概念判断．
【详解】
由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负．
故选：C．
【点睛】
本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．
10、B
【解析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.
【详解】
A选项，若，，，，则或与相交；故A错；
B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；
C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；
D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；
故选B
【点睛】
本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.
11、B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
12、B
【解析】
设，则，，
因为，所以．若，则，所以，
所以，不符合题意，所以，则，
所以，所以，，设，则，
在中，易得，所以，解得（负值舍去），
所以椭圆的离心率．故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、91
【解析】
设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率.
【详解】
不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得：
，化简得：，即，
投票有效率越高，越小，则，，
故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式.
14、
【解析】
取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.
【详解】
在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，
连接.由，得，，
由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,
又由已知可得平面平面，平面，，
，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，
三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.
15、8
【解析】
利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.
【详解】
因为（即 取等号），
所以最小值为.
【点睛】
已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用
，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.
16、
【解析】
分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心，
设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值
【详解】
如下图，
∵三棱柱为正三棱柱
∴设，
∴三棱柱的侧面积为
∴
又外接球半径
∴外接球表面积.
故答案为：

【点睛】
考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
【点睛】
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
18、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（2）分类讨论得出极大值即可判断.
【详解】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19、（1）（2）（3）直线平面，证明见解析
【解析】
取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．
（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．
【详解】
底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形．
取中点，连接，则，
为等边三角形，
，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，1，，，0，，，，，，0，，
，，，，，．
，，设平面的一个法向量为．
由，取，得．
（1）证明：设直线与平面所成角为，
，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
由，
得二面角的余弦值为；
（3），
，
又平面，
直线平面．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20、（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：
；（2）.
【解析】
（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；
（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可.
【详解】
（1）
的最小正周期为：；
当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；
（2）因为，所以
设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.
【点睛】
本题考查了正弦的二倍角公式、诱导公式、辅助角公式，考查了余弦定理、三角形面积公式，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.
21、（1）（2）（i）（，且）.（ii）最大值为4.
【解析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可；
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,则可求得,,即可得到,进而由可得到p关于k的函数关系式；
（ii）由可得,推导出,设（）,利用导函数判断的单调性,由单调性可求出的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则,
∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
（2）（i）由已知得,的所有可能取值为1,,
,,
,
若,则,则,
,,
∴p关于k的函数关系式为（,且）
（ii）由题意知,得,
,,,
设（）,
则,令,则,
∴当时,,即在上单调增减,
又,,
,
又,,
,
∴k的最大值为4
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性
22、（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
.
【点睛】
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
“我身边的榜样”评选选票
候选人
符号
注：
1．同意画“○”，不同意画“×”．
2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票．
甲
乙
丙
0
1
2
3