2026年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校九年级下二模数学试题(含答案解析)

这是一份2026年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校九年级下二模数学试题(含答案解析)，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．5B．C．D．
2．下列图案中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．调查全国中学生的体重情况B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命
C．调查某市居民的防诈意识D．调查某班学生的节水意识
4．下列四个数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点，，在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，第④个图中有20个圆点……，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（ ）
A．25B．30C．35D．40
7．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A．B．6C．D．12
8．某县“智慧茶园”项目，2023年数字化改造茶园面积200亩，经过两年的继续改造，该项目2025年数字化改造茶园面积达到242亩，那么该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点在线段上，连接，相交于点，点在的延长线上，连接，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
10．已知整式，其中，为正整数，为自然数．记，．则下列说法：（ ）
①当且时，若方程有实根，则的最大值为8；
②当且时，满足条件的整式有9个；
③当时，满足条件的任意两个二次整式的差都含有两个一次因式和．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．某校为学生开设了3门艺术类选修课和2门体育类选修课，从中随机选取一门选修课恰好是体育类选修课的概率是_________．
12．如图，直线，若，，则的度数是_________．
13．若为正整数，且满足，则_______．
14．若实数，同时满足，，则的值是___________．
15．如图，平行四边形的顶点在上，与相切于点，延长交点，连接，，交于点的平分线交于点，连接，，，，则的半径为__________；若，则的长度为__________．
16．一个四位自然数各个数位上的数字均不为0，若满足，则称为“对称差数”．将“对称差数”的个位数字去掉后得到的三位数记为，将千位数字去掉后得到的三位数记为，并规定，若是“对称差数”，则_____．若一个四位自然数（其中，，，均是整数，且满足：，，，）是“对称差数”，除以4余3，且满足是完全平方数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_____．
三、解答题
17．解不等式组：
解：解不等式①，得_________．
解不等式②，得_________．
不等式①和②的解集在数轴上表示为：
所以原不等式组的解集为_________．
18．小红学习了平行四边形和尺规作图后，进行了拓展性研究，她发现了矩形的一种作图方法．以下是她的探究过程，请完成其中的作图和推理填空：
如图，四边形是平行四边形，对角线所在直线与相交于点．
(1)用尺规完成以下作图：在射线上截取，连接，，在右侧作交射线于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：四边形是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
， ① ．
．
∵ ② ．
．
即：．
在和中，
，
．
．
∴ ④ ．
，
．
．
∴四边形是矩形．
19．学校开展了消防知识竞赛活动，从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析，所有学生的成绩均不低于60分（成绩得分用表示，共分成四个组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩是：66，68，72，75，78，78，82，83，88，88，88，88，89，89，95，96，98，99，100，100．
八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：89，85，84，88，85，89，88，89，89．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中_________，_________，_________；
(2)根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生消防知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校七年级有学生700人，八年级有学生780人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
20．先化简，再求值：，其中．
21．著名摩托车品牌生产A、B两种型号的摩托车．某经销商购入一批A型和B型摩托车．已知每台A型摩托车比每台B型摩托车价格低1.5万元，购买A型摩托车花费60万元，购买B型摩托车花费45万元．购买的A型摩托车的数量恰好是B型摩托车数量的2倍．
(1)求一台A型摩托车和一台B型摩托车的价格分别是多少万元？
(2)经销商决定再次购入一批A型和B型摩托车，购买A型摩托车的数量比第一次的购买数量多台，购买型摩托车的数量与第一次相同，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，最终第二次购买两型摩托车的总费用比第一次购买两型摩托车的总费用多万元，求的值．
22．如图，菱形的对角线相交于点，，，是线段上的点（不与，重合），连接，过点作直线交线段于点，用表示线段的长度，点与点之间的距离为，与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．如图，，，，，在同一平面内．是小西家，艺术馆位于的北偏东方向6千米处；小福家位于的西南方向，同时在的正东方向；咖啡店位于的南偏东方向，同时在的正东方向；图书馆在的正南方向，同时在的南偏东方向．（参考数据：，，）
(1)求小西家与小福家的距离；（结果保留小数点后一位）
(2)周日上午，小西和小福相约去图书馆．小福先从家里前往咖啡店购买了两杯咖啡，购买完成后电话联系上小西，小福从咖啡店前往图书馆的同时小西从家里前往图书馆．已知小西与小福的速度之比为，当他们相距千米时，求小西离开家的距离．（结果保留小数点后一位）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点是第一象限内抛物线上一点，连接，，，点，是抛物线对称轴上的动点（点在点上方），且，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)在（2）中的面积取最大的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，点为点的对应点，点是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
25．在中，为上一点．
(1)如图1，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，求的度数．
(2)如图2，，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，连接交于点，，延长至点，使得，连接交于点，若且，用等式表示线段，，的数量关系并证明．
(3)如图3，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线于点，为直线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当面积取得最大值时，直接写出线段的最小值．
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
86
86
中位数
88
众数
89
《2026年重庆市重庆市北碚区西南大学附属中学校二模数学试题》参考答案
1．A
【详解】解：的相反数是5．
2．B
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意．
3．D
【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查．
【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意；
B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意；
C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意；
D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查．
4．B
【分析】先比较10的指数，指数越小，对应数越小，指数相同时再比较系数即可得到结果．
【详解】解：∵A、B选项的指数为5，C、D选项的指数为6，，
∴A、B选项都小于C、D选项，只需比较A、B选项，
又，同指数下系数越小，数越小，
∴，
因此四个数中最小的是B选项的数．
5．A
【详解】解：∵，
∴．
6．C
【分析】观察图形得出规律第个图中有个圆点，由此计算即可得出结果．
【详解】解：由图可得：
第①个图中有个圆点，
第②个图中有个圆点，
第③个图中有个圆点，
第④个图中有个圆点，
……，
第个图中有个圆点，
∴第⑦个图中圆点的个数是．
7．C
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
8．B
【分析】设年平均增长率为，根据增长规律列方程求解，舍去不符合题意的负根即可得到结果．
【详解】解：设该项目这两年的数字化改造茶园面积的年平均增长率为，
∵2023年改造面积为200亩，经过两年增长后2025年改造面积为242亩，
∴可列方程，
解得：，（不符合题意，舍去），
即年平均增长率为．
9．A
【分析】如图，连接交于，过作于，证明，可得，结合，设，则，进一步求解，，，即可得到答案.
【详解】解：如图，连接交于，过作于，
∵正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
10．C
【分析】根据题意结合具体条件去分析①、②、③，分类讨论，将每种情况都写出来，进行比较，确定最终答案．
【详解】解：判断①：当时，，为正整数，，为自然数，
，方程整理得，
∵方程有实数根，
∴判别式，即，
将代入得：，
由为正整数，得，
时，，且，为自然数，，与矛盾，所以不满足条件；
时，，且，为自然数，仅满足条件，此时；
时，，且，为自然数，最大为2，此时；
故最大值为8，①正确．
判断②：
，，为正整数，
，解得正整数，
分情况计数：
，，此时，，仅1个整式；
，，，其中为正整数，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，，共4个整式；
，，，其中为正整数，当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，，共4个整式；
，，，其中为正整数，当时，，，，，仅1个整式；
总共有个，故②错误．
判断③：
二次整式即，满足，，解得，，
任取两个二次整式，，差为：
，
差含有一次因式和，③正确．
11．
【详解】解：由题意可得，所有选修课的总数为，其中体育类选修课的数量为2，
故根据概率公式可得从中随机选取一门选修课恰好是体育类选修课的概率为．
12．
【分析】由平行线的性质可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴．
13．5
【分析】先将化为二次根式形式，估算出的取值范围，再结合已知不等式确定正整数的值．
【详解】解：，
∵，
∴，即，
∵为正整数，且满足，
∴．
14．
【分析】先求出，从而可得，再结合得出或，由①②可得，解得，此时，由①③可得，此方程组无解；从而即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
由①②可得，解得，此时，
由①③可得，此方程组无解；
综上所述，的值是．
15． /
【分析】本题主要考查圆的垂径定理、切线性质、圆周角定理、三角形内心、平行四边形性质、三角形内角和、特殊三角形判定与三角函数等知识点，垂径定理可知，为弧中点，为的角平分线，进而为的内心，再采用圆内接四边形对角互补，可知，再有，即可求证为等边三角形，再利用三角函数求解半径；通过角的证明，得到，即可得到，再根据三角形相似，得到，利用相似的性质即可求得，，即可解答．
【详解】解：与相切于点，如图：连接，交于点，连接、
，
平行四边形，
，且，
，，
由垂径定理可知，为弧中点，
，
为的角平分线，
为的角平分线，
为的内心，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
所以半径为；
如图，延长交圆于点，再连接，，
，，
且，（同弧所对的圆周角相等）
，
，
直径所对的圆周角是，
，且，
，
，，
，
，
，
，
故答案为；
故答案为；．
16．
【分析】①根据新定义的条件构造，通过化简即可求解；②通过新定义化简，通过的取值可知的范围，举例即可判断求解．
【详解】解：设，
则，
∴，
∴，，
，
若，
，，
，
∵
∴，
∵是完全平方数，
∴，是整数，
∵，，，，
∴，
当时，取得最大值，当时，取得最小值，
∴，
∴，
当时，，不是完全平方数，则不满足条件，
当时，，是完全平方数，则满足条件，，除以4余，则不满足条件；
当时，，是完全平方数，则满足条件，，除以4余，则满足条件；
当时，，不是完全平方数，则不满足条件，
当时，，不是完全平方数，则不满足条件，
当时，，不是完全平方数，则不满足条件，
当时，，是完全平方数，则满足条件，，除以4余，则满足条件；
故当或时满足条件，
当时，，，取得最大值为：，
当时，，，取得最小值为：，
则满足条件的的最大值与最小值的差为：．
17．，，数轴见解析，
【详解】解：
；
；
∴解不等式①，得．
解不等式②，得．
不等式①和②的解集在数轴上表示为：
所以原不等式组的解集为．
18．(1)见解析
(2)；；；四边形是平行四边形
【分析】（1）根据作图步骤即可作图；
（2）先证明，即可证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
，．
．
∵．
．
即：．
在和中，
，
．
．
∴四边形是平行四边形．
，
．
．
∴四边形是矩形
19．(1)
(2)八年级学生消防知识竞赛的成绩较好，见解析
(3)405人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解，先求出C组的占比，再由1减去A、B、C的占比即可求解；
（2）根据平均数，中位数和众数分析即可；
（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【详解】（1）解：八年级A组中的人数，B组中的人数有
而20个数据的中位数是第10、11个数据的平均数，C组有个数据，故中位数在C组，将C组的数据排列为84，85，85，88，88，89，89，89，89，
∴第10、11个数据为88，88，
∴中位数；
七年级的数据中88出现的次数最多，故众数；
，
∴；
（2）解：八年级学生消防知识竞赛的成绩较好，理由如下：
七年级和八年级数据的平均数和中位数一样，但是八年级的众数高于七年级的众数，说明八年级多数学生的成绩在更高的分数段，整体表现更优．
（3）解：（人）
答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共405人．
20．，
【分析】本题考查分式的化简求值，掌握相关的计算法则是解题的关键．
根据分式的运算法则进行化简，然后将值代入即可．
【详解】解：
，
将代入得，
原式．
21．(1)一台A型摩托车的价格是3万元，一台B型摩托车的价格是4.5万元
(2)
【分析】（1）设一台A型摩托车的价格为万元，则一台B型摩托车的价格为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
（2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设一台A型摩托车的价格为万元，则一台B型摩托车的价格为万元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，
故一台A型摩托车的价格是3万元，一台B型摩托车的价格是4.5万元；
（2）解：由题意可得：，
整理可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
22．(1)，
(2)图象见解析，性质：当时，有最小值（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质以及勾股定理可得，，那么，对于的函数关系式，分两种情况，根据，得到求解即可；
（2）描点、连线即可作图，可从增减性、对称性、最值的角度分析的性质即可；
（4）时的取值范围即为函数图象在函数图象上方时，对应的取值范围．
【详解】（1）解：∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：；
（2）解：函数图象如图：
函数的性质有：当时，有最小值等；
（3）解：由图象可得，当时，．
23．(1)千米
(2)4.1千米
【分析】（1）如图，过点B作于点F，求出，，然后得到，即可求解；
（2）首先解直角三角形求出，，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M，设，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作于点F，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
∵小福家位于的西南方向，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴小西家与小福家的距离为千米；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
根据题意得，，
∴，
∴，
如图，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M，
∵小西与小福的速度之比为，
∴，
设，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
解得（舍去），，
∴，
∴小西离开家的距离为4.1千米．
24．(1)
(2)当的面积最大时，点的坐标为，的最大值为
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）由题意可得，求出直线的解析式为，，过点作，交直线于点，设点，则点的纵坐标为，求出，得到，再由得出当时，的面积最大，为，此时点的坐标为，连接，由抛物线的对称性可得，将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，证明四边形为平行四边形，得出，从而可得，再由勾股定理计算即可得出结果；
（3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，进而可得，，过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分两种情况：当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点，当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，分别计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴相交于点，抛物线的对称轴直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴直线与轴交于点，
∴，
设直线的解析式为，
将代入可得，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，令，则，
解得：，，
∴，
如图，过点作，交直线于点，
设点，则点的纵坐标为，
在中，当时，，
解得：，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴时，的面积最大，为，此时，
∴当的面积最大时，点的坐标为，
连接，
∵点，是抛物线对称轴上的动点，且点、点关于对称轴对称，
∴，
将点向下平移个单位长度得到点，连接，，则，
由平移的性质可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为；
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
∴直线的解析式为，
，
∵将抛物线沿射线的方向平移个单位得到抛物线，
∴将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到抛物线，
∵，
∴，
∵点为点的对应点，
∴，
过点作对称轴于点，过点作于点，过点作于点，
则，，，，
∴，，
∴，
∴，
当点在下方时，在轴上取一点，使得，则，连接并延长交于点，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵对称轴于点，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即点即为所求，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时；
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当点在上方时，作点关于直线的对称点，作直线交抛物线于点，
由轴对称的性质可得，点、的中点在直线上，，即点即为所求，
设，则，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
设直线的解析式为，
将，代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴此时；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】二次函数的平移法则：左加右减，上加下减；采用数形结合与分类讨论的思想．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由旋转得，结合，可推导角相等，证明．由全等得对应角相等，结合推导的底角度数，再结合为等腰直角三角形性质，的外角性质求出的度数，即可计算的度数．
（2）设，则，，由旋转性质得，得，得，即得，可证明，得．∵，∴,过点C作，交于点I，则，可证明，得，可得，得，由，，可得．
（3）以点D为原点，所在直线为x轴，过点D垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，作，使，连接，取中点N，连接，，过点F、G作轴，轴,垂足为K、L，证明，得，得点G是在直线​上运动．证明，得，，由 ，可得，得，得点E是在以为圆周角的圆弧上运动．得的中点O为圆心，为直径，过点O作轴于点 Q，直线交于点P交直线于点R．可得，∵，得．当最大时最大，点E与P重合，由，得的最小值为．
【详解】（1）解：由旋转性质得：，．
∴，
，
，
又，
∴，
∴，
∴，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下，
设，则，
∴，
由旋转性质得，
∴，
∴，
即，
∴，
又，
，
∴．
∵，
∴，
过点C作，交于点I，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵线段长都是正数，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：以点D为原点，所在直线为x轴，过点D垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∵，，
∴，
∴，
作，使，连接，取中点N，连接，，过点F、G作轴，轴,垂足为K、L，
则，，
∴，
由旋转知，在直线上，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点G是在直线​上运动．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴点E是在以为圆周角的圆弧上运动．
设的中点为O，
则，
∴点B在的外接圆上，
∴点O为圆心，为直径，
过点O作轴于点Q，直线交于点P交直线于点R．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵面积，
∴最大时最大，
当点E与P重合时，
​值最大．
∵，
∴的最小值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
B
A
C
C
B
A
C