吉安市青原区2025届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

这是一份吉安市青原区2025届高考全国统考预测密卷数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了下列函数中，图象关于轴对称的为，已知是边长为的正三角形，若，则，为虚数单位,则的虚部为，已知直线等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，正四面体的体积为，底面积为，是高的中点，过的平面与棱、、分别交于、、，设三棱锥的体积为，截面三角形的面积为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
3．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若不垂直于，且，则不垂直于
4．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ）
A．B．，
C．D．
6．已知是边长为的正三角形，若，则
A．B．
C．D．
7．为虚数单位,则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
A．甲得分的平均数比乙大B．甲得分的极差比乙大
C．甲得分的方差比乙小D．甲得分的中位数和乙相等
9．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到0.001）
A．0.110B．0.112C．D．
11．设，，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
12．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
14．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．
15．已知实数，满足约束条件，则的最小值为______.
16．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，数列为等差数列，且，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设为数列的前项和，若对于任意，有，求实数的值.
18．（12分）已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．（12分）已知函数，记不等式的解集为.
（1）求；
（2）设，证明：.
20．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为
求a，b的值；
证明：．
21．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
22．（10分）在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数．
（1）写出与的直角坐标方程；
（2）在什么范围内取值时，与有交点．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
设，取与重合时的情况，计算出以及的值，利用排除法可得出正确选项.
【详解】
如图所示，利用排除法，取与重合时的情况.
不妨设，延长到，使得．
，，，，则，
由余弦定理得，
，，
又，，
当平面平面时，，，排除B、D选项；
因为，，此时，，
当平面平面时，，，排除C选项.
故选：A.
本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
2．C
【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.
【详解】
为得到，
将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
故可得；
再将 向左平移个单位长度，
故可得.
故选：C.
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
3．C
【解析】
因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．
4．C
【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
【详解】
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
故选：C．
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
5．D
【解析】
图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.
【详解】
图象关于轴对称的函数为偶函数；
A中，，，故为奇函数；
B中，的定义域为，
不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；
D中，且，，故为偶函数.
故选：D.
本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数
(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．
6．A
【解析】
由可得，因为是边长为的正三角形，所以，故选A．
7．C
【解析】
利用复数的运算法则计算即可.
【详解】
，故虚部为.
故选：C.
本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.
8．B
【解析】
由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论．
【详解】
对于甲，；
对于乙，，
故正确；
甲的极差为，乙的极差为，故错误；
对于甲，方差.5，
对于乙，方差，故正确；
甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，故正确．
故选：．
本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
9．A
【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.
【详解】
设，且线过定点即为的圆心，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以，
所以.
故选：A.
本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.
10．C
【解析】
根据题意知,，代入公式,求出即可.
【详解】
由题意可得,因为,
所以,即.
所以这种射线的吸收系数为.
故选:C
本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.
11．D
【解析】
利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
，，
，，
，，，
，
故选：D.
该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.
12．B
【解析】
由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】
由题意，“直线与直线垂直”
则，解得或，
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.
本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．2.
【解析】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，由得，证明为与平面所成角，令，用三角函数表示出，求解三角函数的最大值得到结果.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，
，又，
得即；
又平面，为与平面所成角，
令，
当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.
14．
【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.
【详解】
解：由题可知，不等式对于任意恒成立，
即，
又因为，，
对任意恒成立，
设，其中，
由不等式，可得：，
则，
当时等号成立，
又因为在内有解，
，
则，即：，
所以实数的取值范围：.
故答案为：.
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
15．
【解析】
作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.
【详解】
作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故
由题可知，联立得,联立得
所以，故
所以的最小值为
故答案为：
本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.
16．
【解析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，
则：，，
且，，
据此可知在方向上的投影为.
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1），（2）（3）
【解析】
（1）假设公差，公比，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得，，然后利用公式法，可得结果.
（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.
（3）计算出，代值计算并化简，可得结果.
【详解】
解：（1）依题意：，
即，解得：
所以，
（2），
，
，
上面两式相减，得：
则
即
所以，
（3）
，
所以
由得，，
即
本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.
18．（1）（2）
【解析】
（1）先利用同角的三角函数关系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；
（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.
【详解】
解:（1）因为,
所以
又,故,
所以,
所以
（2）由（1）得,,,
所以,
所以,
因为且,
即,解得,
因为,所以,所以,
所以,
所以
本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.
19．（1）；（2）证明见解析
【解析】
（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.
（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.
【详解】
（1）解：，
由，解得，
故.
（2）证明：因为，所以，，
所以，
所以.
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.
20．（1）；（2）见解析
【解析】
分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.
详解：（1）解：，由题意有，解得
（2）证明：（方法一）由（1）知，.设
则只需证明
，设
则， 在上单调递增
，
，使得
且当时，，当时，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
，由，得，
，
设，，
当时，，在单调递减，
，因此
（方法二）先证当时， ，即证
设，则，且
，在单调递增，
在单调递增，则当时，
（也可直接分析 显然成立）
再证
设，则，令，得
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，即
又，
点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.
21．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值.
【详解】
（1）因为，由椭圆的定义得，，
点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，
所以的方程为；
（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，
联立方程组，消去，整理得，
所以，，
直线的直线方程为，令，则，
同理，
所以：
，
代入整理得，
所以为定值.
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
22．（1），．（2）
【解析】
（1）利用，代入可求；消参可得直角坐标方程.
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，与有交点，可得，解不等式即可求解.
【详解】
（1）
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得：
与有交点，即
本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.