陕西省延安市黄陵县2024-2025学年高考考前提分数学仿真卷含解析

这是一份陕西省延安市黄陵县2024-2025学年高考考前提分数学仿真卷含解析，共11页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设则以线段为直径的圆的方程是，已知双曲线C，已知为虚数单位，若复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．复数的共轭复数是
C．D．
2．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A．B．C．D．
4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．2C．3D．
6．设则以线段为直径的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）
A．B．C．D．
10．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ）
A．2B．4C．D．8
11．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）
A．B．C．D．
12．若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.
14．已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512，其展开式中第四项的系数__________．
15．已知三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积是________.
16．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．
附表及公式：
其中,．
18．（12分）如图，四棱锥的底面中，为等边三角形，是等腰三角形，且顶角，，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积.
20．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
21．（12分）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）已知二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知函数，为实数，且．
（Ⅰ）当时，求的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数在区间，上的值域（其中为自然对数的底数）．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.
故选：D
本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.
2．B
【解析】
先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
不超过的素数有：、、、、、，
在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，
其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故选：B.
本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
3．C
【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.
【详解】
第一次循环：
第二次循环：
第三次循环：
第四次循环：
第五次循环：
第六次循环：
第七次循环：
第八次循环：
所以框图中①处填时，满足输出的值为8.
故选：C
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.
4．D
【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.
【详解】
解：因为直线与直线垂直，所以，.
又为直线倾斜角，解得.
故选：D.
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【解析】
由奇函数定义求出和．
【详解】
因为是定义在上的奇函数，.又当时，，.
故选：A．
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
6．A
【解析】
计算的中点坐标为，圆半径为，得到圆方程.
【详解】
的中点坐标为：，圆半径为，
圆方程为.
故选：.
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
7．D
【解析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】
设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
8．A
【解析】
分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.
详解：由题设有，故，故选A.
点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.
9．B
【解析】
由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面是等腰直角三角形，平面,结合三视图求出每个面的面积即可.
【详解】
由三视图可知，该三棱锥如图所示：
其中底面是等腰直角三角形，平面,
由三视图知，
因为,,
所以,
所以,
因为为等边三角形，
所以,
所以该三棱锥的四个面中，最大面积为.
故选：B
本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
10．B
【解析】
根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，，解得或（舍去）.
故.
故选：.
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
11．A
【解析】
根据球的特点可知截面是一个圆，根据等体积法计算出球心到平面的距离，由此求解出截面圆的半径，从而截面面积可求.
【详解】
如图所示：
设内切球球心为，到平面的距离为，截面圆的半径为，
因为内切球的半径等于正方体棱长的一半，所以球的半径为，
又因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为.
故选：A.
本题考查正方体的内切球的特点以及球的截面面积的计算，难度一般.任何一个平面去截球，得到的截面一定是圆面，截面圆的半径可通过球的半径以及球心到截面的距离去计算.
12．A
【解析】
先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】
，.
故选：A．
本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
把 绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.
【详解】
将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形，
故答案为：
本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.
14．
【解析】
先令可得其展开式各项系数的和，又由题意得，解得，进而可得其展开式的通项，即可得答案.
【详解】
令，则有，解得，
则二项式的展开式的通项为，
令，则其展开式中的第4项的系数为，
故答案为：
此题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和，属于基础题.
15．
【解析】
将三棱锥补成长方体，设，，，设三棱锥的外接球半径为，求得的值，然后利用球体表面积公式可求得结果.
【详解】
将三棱锥补成长方体，设，，，
设三棱锥的外接球半径为，则，
由勾股定理可得，
上述三个等式全部相加得，，
因此，三棱锥的外接球面积为.
故答案为：.
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.
16．
【解析】
由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．
【详解】
如图，
由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，
即在直线，也就是在直线上，
联立，得或，
的中点坐标为，
则的垂直平分线方程为，
把代入上式，得，
令，则，
由，得（舍）或．
当时，，当时，.
当时，函数取极大值，亦为最大值．
故答案为：.
本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ），；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得；
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得．
【详解】
解：(Ⅰ),
．
(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,
列联表如下：
因为,
所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关．”
本题主要考查独立性检验，以及由频率分布直方图求平均数的问题，熟记独立性检验的思想，以及平均数的计算方法即可，属于常考题型.
18．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）设中点为，连接、，首先通过条件得出，加，可得，进而可得平面，再加上平面，可得平面平面，则平面；
（2）设中点为，连接、，可得平面，加上平面，则可如图建立直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：设中点为，连接、，
为等边三角形，
，
，，
，
，即，
，
，
平面，平面，
平面，
为的中位线，
，
平面，平面，
平面，
、为平面内二相交直线，
平面平面，
平面DMN，
平面；
（2）设中点为，连接、
为等边三角形，是等腰三角形，且顶角
，，
、、共线，
，，，，平面
平面.
平面
平面平面，交线为，平面
平面.
设，则
在中，由余弦定理，得：
又，
，
，，
，为中点，
，
建立直角坐标系（如图），则
，，，.
，，
设平面的法向量为，则，
，
取，则，
，
平面的法向量为，
，
二面角为锐角，
二面角的余弦值大小为.
本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.
19．（1）；（2）面积的最小值为；四边形的面积为
【解析】
（1）将曲线消去参数即可得到的普通方程，将，代入曲线的极坐标方程即可；
（2）由（1）得曲线的极坐标方程，设，，，
利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根据题意知，进而可得四边形的面积.
【详解】
（1）由曲线的参数方程为（为参数）消去参数得
曲线的极坐标方程为，即，
所以，曲线的直角坐标方程.
（2）依题意得的极坐标方程为
设，，，
则，，故
，当且仅当（即）时取“=”，
故，即面积的最小值为.
此时，
故所求四边形的面积为.
本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1） （2）9060元
【解析】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.
【详解】
解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
所以（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.
本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由已知可得，结合，由直线与平面垂直的判定可得平面；
（2）由（1）知，，则，，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，0，，由二面角的余弦值为求解，再由空间向量求解直线与平面所成角的正弦值．
【详解】
（1）证明：因为四边形是等腰梯形，，，所以.又，所以，
因此，，
又，
且，，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连接，，
由于，因此，
又平面，平面，所以.
由于，，平面，
所以平面，故，
所以为二面角的平面角.在等腰三角形中，由于，
因此，又，
因为，所以，所以
以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，则，，
，，
设平面的法向量为
所以，即，令，则，，
则平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，则

本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题．
22．（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间，递减区间，（Ⅱ）见解析
【解析】
（Ⅰ）由，令，得增区间为，令，得减区间为，所以有极大值，无极小值；
（Ⅱ）由，分，和三种情况，考虑函数在区间上的值域，即可得到本题答案.
【详解】
当时，，，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值，没有极小值；
函数的增区间为，减区间为，
，
当时，，在上单调递增，即函数的值域为；
当时，，在上单调递减， 即函数的值域为；
当时，易得时，，在上单调递增，时，，在上单调递减，
故当时，函数取得最大值，最小值为，中最小的，
当时，，最小值；
当，，最小值；
综上，当时，函数的值域为，
当时，函数的值域，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为.
本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计