绥宁县2025年高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份绥宁县2025年高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了已知下列命题等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．己知抛物线的焦点为，准线为，点分别在抛物线上，且，直线交于点，，垂足为，若的面积为，则到的距离为（ ）
A．B．C．8D．6
3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）
A．24B．36C．48D．64
4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A．2B．5C．D．
5．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，3]B．[﹣1，3]C．{0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2，3}
6．已知下列命题：
①“”的否定是“”；
②已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．③④B．①②C．①③D．②④
7．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，b∥，则∥B．若，，则∥
C．若∥，，则D．若，b∥，则
8．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72B．64C．48D．32
10． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
11．已知集合．为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在四棱锥中，底面为正方形，面分别是棱的中点，过的平面交棱于点，则四边形面积为__________.
14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．
15．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.
16．在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为
______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．视频率为概率．
①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；
②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获得一次抽奖活动．每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：
现某市民要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求的分布列及数学期望．
附表及公式：
18．（12分）如图，三棱柱中，与均为等腰直角三角形，，侧面是菱形.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）已知函数．
（1）当时，求的单调区间．
（2）设直线是曲线的切线，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率时切线的方程．
（3）已知分别在，处取得极值，求证：．
20．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：
（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？
（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.
（参考公式：（其中）
21．（12分）已知函数，函数，其中，是的一个极值点，且.
（1）讨论的单调性
（2）求实数和a的值
（3）证明
22．（10分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.
【详解】
作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
由，得，平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，
即.
故选：C.
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
2．D
【解析】
作，垂足为，过点N作，垂足为G，设，则，结合图形可得，，从而可求出，进而可求得，，由的面积即可求出，再结合为线段的中点，即可求出到的距离．
【详解】
如图所示，
作，垂足为，设，由，得，则，.
过点N作，垂足为G，则，，
所以在中，，，所以，
所以，在中，，所以，
所以，，
所以 ．解得，
因为，所以为线段的中点，
所以F到l的距离为．
故选：D
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题．
3．B
【解析】
根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.
【详解】
当按照进行分配时，则有种不同的方案；
当按照进行分配，则有种不同的方案.
故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.
4．D
【解析】
根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.
本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.
5．C
【解析】
先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可．
【详解】
解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，
B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}，
故选：C．
本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．
6．B
【解析】
由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．
【详解】
“”的否定是“”，正确；
已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题，正确；
“”是“”的必要不充分条件,错误；
“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.
故选：B．
本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．
7．C
【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；
B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；
C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；
D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.
故选：C
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.
8．C
【解析】
试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，
若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，
即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，
故选C．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
9．B
【解析】
由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】
由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
所以几何体的体积为，故选B。
本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
10．D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
11．D
【解析】
集合．为自然数集，由此能求出结果．
【详解】
解：集合．为自然数集，
在A中，，正确；
在B中，，正确；
在C中，，正确；
在D中，不是的子集，故D错误．
故选：D．
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．C
【解析】
作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥，底面，
可知四边形为矩形，且，.
矩形的外接圆直径，且.
所以，三棱锥外接球的直径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设是中点，由于分别是棱的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四边形是矩形.
而.
从而.
故答案为：.
本小题主要考查空间平面图形面积的计算，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．
【解析】
记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．
15．
【解析】
利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，数列的通项公式为；
（2），，
令，则且，，
由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，
当或时，取得最大值为.
故答案为：；.
本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
16．
【解析】
先求出球O1的半径，再求出球的半径，即得球的表面积.
【详解】
解：,，
,
，
设球O1的半径为，由题得，
所以棱柱的侧棱为.
由题得棱柱外接球的直径为，所以外接球的半径为，
所以球的表面积为.
故答案为：
本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1)不能；(2) ①；②分布列见解析，.
【解析】
（1）根据题目所给的数据可求2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．（2）由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及数学期望E（X）即可；
【详解】
(1)由图中表格可得列联表如下:
将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值，
所以在犯错误的概率不超过0. 05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.
(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为，
①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为
；
②的取值为10，20，30，40.
,
,
,
,
所以的分布列为
.
本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目．
18．（1）见解析（2）
【解析】
（1）取中点，连接，，通过证明，得，结合可证线面垂直，继而可证面面垂直.
（2）设，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，继而可求二面角的余弦值.
【详解】
解析：（1）取中点，连接，，
由已知可得，，，
∵侧面是菱形，∴，，，
即，∵，∴平面，∴平面平面.
（2）设，则，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，
则，令得.
同理可求得平面的法向量，∴.
本题考查了面面垂直的判定，考查了二面角的求解.一般在求二面角或者线面角的问题时，常建立空间直角坐标系，通过求面的法向量、线的方向向量，继而求解.特别地，对于线面角问题，法向量与方向向量的余角才是所求的线面角，即两个向量夹角的余弦值为线面角的正弦值.
19．（1）单调递增区间为，；单调递减区间为；（2），；（3）证明见解析．
【解析】
（1）由的正负可确定的单调区间；
（2）利用基本不等式可求得时，取得最小值，由导数的几何意义可知，从而求得，求得切点坐标后，可得到切线方程；
（3）由极值点的定义可知是的两个不等正根，由判别式大于零得到的取值范围，同时得到韦达定理的形式；化简为，结合的范围可证得结论.
【详解】
（1）由题意得：的定义域为，
当时，，
，
当和时，；当时，，
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2），所以（当且仅当，即时取等号），
切线的斜率存在最小值，，解得：，
，即切点为，
从而切线方程，即：．
（3），
分别在，处取得极值，
，是方程，即的两个不等正根．
则，解得：，且，．
，
，，
即不等式成立．
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.
20．（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为.
【解析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）首先确定的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.
【详解】
（1）根据题意及列联表可得完整的列联表如下：
根据公式可得，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人，
所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为，
则的可能为1，2，3，且
，，，
其分布列为
.
独立性检验依据的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.
21．（1）在区间单调递增；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
（1）求出，在定义域内，再次求导，可得在区间上恒成立，从而可得结论；（2）由，可得，由可得，联立解方程组可得结果；（3）由（1）知在区间单调递增，可证明，取，可得，而，利用裂项相消法，结合放缩法可得结果.
【详解】
（1）由已知可得函数的定义域为，且，
令，则有，由，可得，
可知当x变化时，的变化情况如下表：
，即，可得在区间单调递增；
（2）由已知可得函数的定义域为，且，
由已知得，即，①
由可得，，②
联立①②，消去a，可得，③
令，则，
由（1）知，，故，在区间单调递增，
注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，
；
（3）证明：由（1）知在区间单调递增，
故当时，，，
可得在区间单调递增，
因此，当时，，即，亦即，
这时，故可得，取，
可得，而，
故
.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
22．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）解法一： 作的中点，连接，.利用三角形的中位线证得，利用梯形中位线证得，由此证得平面平面，进而证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直，证得平面.
（2）利用平面和平面法向量，计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）法一：作的中点，连接，.又为的中点，∴为的中位线，∴，又为的中点，∴为梯形的中位线，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.
另解：（法二）∵在长方体中，，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
，，，
，，，
，，.
（1）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴，又，
∵，，又平面，平面.
（2）设平面的一个法向量为，
则，
令，则，.∴.
同理可算得平面的一个法向量为
∴，
又由图可知二面角的平面角为一个钝角，
故二面角的余弦值为.
本小题考查线面的位置关系，空间向量与线面角，二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，数形结合思想，化归与转化思想.
组别
男
2
3
5
15
18
12
女
0
5
10
10
7
13
红包金额（单位：元）
10
20
概率
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
非“环保关注者”
是“环保关注者”
合计
男
10
45
55
女
15
30
45
合计
25
75
100
10
20
30
40

35岁以下（含35岁）
35岁以上
合计
使用移动支付
40
10
50
不使用移动支付
10
40
50
合计
50
50
100
1
2
3
1
-
0
+
极小值