梧州市岑溪市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

这是一份梧州市岑溪市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了已知函数满足，当时，，则，已知集合，，则=等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，，则
2．若向量，则（ ）
A．30B．31C．32D．33
3．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数满足，当时，，则（ ）
A．或B．或
C．或D．或
5．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．140D．120
6．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A．，且B．，且
C．，且D．，且
7．已知集合，，则=( )
A．B．C．D．
8．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
9．执行如图的程序框图，若输出的结果，则输入的值为( )
A．B．
C．3或D．或
10．已知等差数列的前13项和为52，则（ ）
A．256B．-256C．32D．-32
11．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．以上情况均有可能
12．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若满足，则目标函数的最大值为______.
14．已知集合，，则__________．
15．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
16．某校名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以人一组或者人一组.如果人一组，则必须角色相同；如果人一组，则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这名学生分成组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若点的极坐标为，，求的值．
18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.
（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；
（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.
19．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.
20．（12分）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，且数列前项和为，求的取值范围．
21．（12分）如图，在直棱柱中，底面为菱形，，，与相交于点，与相交于点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
22．（10分）已知为等差数列，为等比数列，的前n项和为，满足，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前n项和，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果.
【详解】
对于，当为内与垂直的直线时，不满足，错误；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，但，错误；
对于，由，知：，又，，正确；
对于，设，则当为内与平行的直线时，，错误.
故选：.
本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.
2．C
【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.
【详解】
因为,所以.
故选:C.
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
3．D
【解析】
根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.
【详解】
设为中点，是等边三角形，
所以，
又因为，且，
所以平面，则，
由三线合一性质可知
所以三棱锥为正三棱锥，
设底面等边的重心为，
可得，，
所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：
由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，
在中，，
即，
解得，
所以三棱锥的外接球表面积为，
故选：D.
本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
4．C
【解析】
简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.
【详解】
由，
可知函数关于对称
当时，，
可知在单调递增
则
又函数关于对称，所以
且在单调递减，
所以或，故或
所以或
故选：C
本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.
5．C
【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
6．D
【解析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
，.
故选：D.
.
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
7．C
【解析】
计算，，再计算交集得到答案.
【详解】
，，故.
故选：.
本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
8．B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
9．D
【解析】
根据逆运算，倒推回求x的值，根据x的范围取舍即可得选项.
【详解】
因为,所以当，解得 ，所以3是输入的x的值；
当时，解得，所以是输入的x的值，
所以输入的x的值为 或3，
故选：D.
本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.
10．A
【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.
【详解】
由，，得.选A.
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.
11．B
【解析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．
【详解】
由可得，即函数的周期，
因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，
根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，
因为，是锐角三角形的两个内角，
所以且即，
所以即，
．
故选：．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
12．A
【解析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．
【详解】
由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，
设是的中心，则平面，，，
外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，
∴，解得，
球体积为．
故选：A．
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．-1
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件作出可行域如图，

化目标函数为，
由图可得，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
由得即，则有最大值，
故答案为．
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．
【解析】
解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案.
【详解】
，，
.
故答案为：.
本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.
15．60
【解析】
分析：首先将选定第一个钉，总共有6种方法，假设选定1号，之后分析第二步，第三步等，按照分类加法计数原理，可以求得共有10种方法，利用分步乘法计数原理，求得总共有种方法.
详解：根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有种方法，故答案是60.
点睛：该题考查的是有关分类加法计数原理和分步乘法计数原理，在解题的过程中，需要逐个的将对应的过程写出来，所以利用列举法将对应的结果列出，而对于第一个选哪个是机会均等的，从而用乘法运算得到结果.
16．
【解析】
对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.
【详解】
依题意，名学生分成组，则一定是个人组和个人组.
①若新加入的学生是士兵，则可以将这个人分组如下；名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；
②若新加入的学生是排长，则可以将这个人分组如下：名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；
③若新加入的学生是连长，则可以将这个人分组如下：名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；
④若新加入的学生是营长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名；师长、军长、司令各名；名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；
⑤若新加入的学生是团长，则可以将这个人分组如下：名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；名司令；名团长.所以新加入的学生可以是团长.
综上所述，新加入学生可以扮演种角色.
故答案为：.
本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． (1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.
【解析】
（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由，得，
所以曲线的直角坐标方程为，
即， 直线的普通方程为.
(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，
得. 因为直线与曲线交于，两点．
所以，解得.
由根与系数的关系，得，.
因为点的直角坐标为，在直线上.所以，
解得，此时满足.且，故.．
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
18．（1）（）；（2）
【解析】
（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；
（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.
【详解】
（1），
∵，∴，∴，
由题可知：，
：（）.
（2）因为，
设，，
则，
，
.
本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.
19．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；
（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.
【详解】
（1）设中点为，连接、， 因为，所以.
又，所以，
又由已知，，则，所以，.
又为正三角形，且，所以，
因为，所以，，
，平面，
又平面，平面平面；
（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，
由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.
在中，的垂直平分线与的交点即为球心，
记的中点为点，则.
由与相似可得，
所以.
所以三棱锥外接球的体积为.
本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20．（1）（2）
【解析】
（1）由，可求，然后由时，可得，根据等比数列的通项可求
（2）由，而，利用裂项相消法可求.
【详解】
（1）当时，，解得，
当时，①
②
②①得，即，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）
∴，
∴，
，
.
本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）要证明平面，只需证明，即可：
（2）取中点，连，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出与平面的法向量，再利用计算即可.
【详解】
（1）∵底面为菱形，
∵直棱柱平面.
∵平面.
.
平面；
（2）如图，取中点，连，以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：
，
点，
设平面的法向量为，
，
有，令，
得
又，
设直线与平面所成的角为，
所以
故直线与平面所成的角的正弦值为.
本题考查线面垂直的证明以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，本题解题关键是正确写出点的坐标.
22．（1），；（2）．
【解析】
（1）设的公差为，的公比为，由基本量法列式求出后可得通项公式；
（2）奇数项分一组用裂项相消法求和，偶数项分一组用等比数列求和公式求和．
【详解】
（1）设的公差为，的公比为，由，.得：
，解得，
∴，；
（2）由，得，
为奇数时，，为偶数时，，
∴
．
本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组求和法及裂项相消法、等差数列与等比数列的前项和公式，求通项公式采取的是基本量法，即求出公差、公比，由通项公式前项和公式得出相应结论．数列求和问题，对不是等差数列或等比数列的数列求和，需掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等等．