2024-2025学年山东省德州市夏津县高考临考冲刺数学试卷含解析

这是一份2024-2025学年山东省德州市夏津县高考临考冲刺数学试卷含解析，共13页。试卷主要包含了已知是虚数单位，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．设函数，若函数有三个零点，则（ ）
A．12B．11C．6D．3
4．设，分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点作圆 的切线与双曲线的左支交于点P，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
8．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）
A．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
9．一个陶瓷圆盘的半径为，中间有一个边长为的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001）（ ）
A．3.132B．3.137C．3.142D．3.147
10．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．B．2C．D．10
11．若是定义域为的奇函数，且，则
A．的值域为B．为周期函数，且6为其一个周期
C．的图像关于对称D．函数的零点有无穷多个
12．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．，B．存在点，使得平面平面
C．平面D．三棱锥的体积为定值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设为锐角，若，则的值为____________．
14．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.
15．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
16．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的各项均为正数，为其前n项和，对于任意的满足关系式.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式是，前n项和为，求证：对于任意的正数n，总有.
18．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：
甲公司员工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350
乙公司员工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为 (单位：元)，求的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
19．（12分）已知椭圆C的离心率为且经过点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点(0，2)的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M在椭圆C上，求直线l的方程.
20．（12分）设函数，（）.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；
（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.
21．（12分）已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）判断函数的零点个数.
22．（10分）如图：在中，，，.
（1）求角；
（2）设为的中点，求中线的长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
2．C
【解析】
求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选：C
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
3．B
【解析】
画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数的图象如图所示，
令，
由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），
所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），
由，可得的值分别为，
则
故选B．
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.
4．C
【解析】
设过点作圆 的切线的切点为，根据切线的性质可得，且，再由和双曲线的定义可得，得出为中点，则有，得到，即可求解.
【详解】
设过点作圆 的切线的切点为，
，
所以是中点，，
，
.
故选:C.
本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.
5．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
6．D
【解析】
双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D.
7．C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
8．D
【解析】
用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：
所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.
本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.
9．B
【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可
【详解】
如图，由几何概型公式可知：.
故选：B
本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题
10．C
【解析】
根据复数模的性质计算即可.
【详解】
因为，
所以，
，
故选：C
本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.
11．D
【解析】
运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.
【详解】
是定义域为的奇函数，则，，
又，，
即是以4为周期的函数，，
所以函数的零点有无穷多个；
因为，，令，则，
即，所以的图象关于对称，
由题意无法求出的值域，
所以本题答案为D.
本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.
12．B
【解析】
根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D.
【详解】
在A中，因为分别是中点，所以，故A正确；
在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误；
在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确；
在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确；
故选：B
本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
∵为锐角，，∴，
∴，，
故.
14．
【解析】
如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.
【详解】
如图，连接，
因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，
所以，平面，
则平面.因为，
所以同理得平面，又.
所以平面平面EFG.
因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.
在中，，
故当时.线段的长度最小，最小值为.
故答案为：
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
16．
【解析】
先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.
【详解】
解：若取最小值，则异号，，
根据题意得：，
又由，即有，
则，
即的最小值为，
故答案为：
本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据公式得到，计算得到答案.
（2），根据裂项求和法计算得到，得到证明.
【详解】
（1）由已知得时，，故.
故数列为等比数列，且公比.
又当时，，..
（2）.
.
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18．（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工在这10天投递的快递件数的平均数为
.
众数为330.
（2）设乙公司员工1天的投递件数为随机变量，则
当时，
当时，
当时，
当时，
当时，
的分布列为
（元）；
（3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
(元).
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
19．（1）（2）
【解析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及列方程，由此求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到，由此求得点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线的斜率，由此求得直线的方程.
【详解】
（1）由椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，且
解得，所以椭圆的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，设，由消去得，
所以，
由已知得，所以，由于点都在椭圆上，
所以，
展开有，
又，
所以，
经检验满足，
故直线的方程为.
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
20．（1），；（2）；（3）不能，证明见解析
【解析】
（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；
（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；
（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.
【详解】
（1），
，
曲线在点处的切线方程为，
，
解得.
（2）记，
整理得，
由题知，对任意恒成立，
对任意恒成立，即时，，
，解得，
当时，
对任意，，，
，
，即在单调递增，此时，
实数的取值范围为.
（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：
记，，
则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，
，
当时，，
记，则，
在单调递增，
，即，
，
在单调递增，至多有一个零点；
当时，
记，
则，
在单调递增，即在单调递增，
至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.
因此，不可能有三个零点.
关于的方程不可能有三个不同的实根.
本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理，考查了转化与化归的数学思想，属于难题.
21．（1）（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
（1）设曲线在点，处的切线的斜率为，可求得，，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，，分时，，三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区间为；
（3）分与两类讨论，即可判断函数的零点个数．
【详解】
（1），
，
设曲线在点，处的切线的斜率为，
则，
又，
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）由（1）知，，
故当时，，所以在上单调递增；
当时，，；，，；
的递减区间为，递增区间为，；
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，；
综上所述，时，单调递增为，无递减区间；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
（3）当时，恒成立，所以无零点；
当时，由，得：，只有一个零点．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
22．（1）；（2）
【解析】
（1）通过求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根据求出的值，由正弦定理求出边，最后在中由余弦定理即可得结果.
【详解】
（1）∵，∴.
由正弦定理，即.
得，∵，∴为钝角，为锐角，
故.
（2）∵，
∴.
由正弦定理得，即得.
在中由余弦定理得：，∴.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
收益
20
30
20
10
30
30
60
40
30
30
50
30
204
219
228
273
291