2025年广西壮族桂林市资源县高考冲刺模拟数学试题含解析

这是一份2025年广西壮族桂林市资源县高考冲刺模拟数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知定义在上的奇函数满足等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ）
A．3B．C．D．
4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，aβ，bα，则“ab“是“αβ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知是等差数列的前项和，，，则（ ）
A．85B．C．35D．
6．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的( )条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
10．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
12．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一组样本数据7，9，，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为______.
14．已知双曲线：（，），直线：与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若（点为坐标原点）的面积为32，且双曲线的焦距为，则双曲线的离心率为________.
15．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________.
16．已知复数,其中是虚数单位．若的实部与虚部相等,则实数的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：为定值.
18．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.
（1）求矩阵;
（2）求矩阵的特征值．
19．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
20．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．
21．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：
①用最小二乘法求与的回归直线方程；
②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值
参考数据和公式：，
22．（10分）设函数 .
(I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】
最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
2．A
【解析】
由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为
故答案为A.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
3．C
【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.
【详解】
显然直线过抛物线的焦点
如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E
根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC
设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME=
所以
故选：C
本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.
4．D
【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可．
【详解】
解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；
反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，
∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．
5．B
【解析】
将已知条件转化为的形式，求得，由此求得.
【详解】
设公差为，则，所以，，，.
故选：B
本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题.
6．C
【解析】
求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程的渐近线方程为，由题意可得，又，即，解得，，即可得到所求双曲线的方程.
【详解】
解：抛物线的焦点为
可得双曲线
即为的渐近线方程为
由题意可得，即
又，即
解得，.
即双曲线的方程为.
故选：C
本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.
7．C
【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.
【详解】
如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线
平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面
内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因
为，所以，从而，故④正确.
故选：C.
本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题.
8．A
【解析】
因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；
（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，
（3）函数周期为T,则
9．B
【解析】
根据充分必要条件的概念进行判断.
【详解】
对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；
若，则可得，必要性成立.
故选：B
本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.
10．A
【解析】
根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得的值，即可比较各选项.
【详解】
如下图所示，平面，从而平面，
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∵平面，平面，且与正方体的其余四个面所在平面均相交，
∴，
∴结合四个选项可知，只有正确.
故选：A.
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.
11．B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．D
【解析】
由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.
【详解】
由题意得，，
，.
故选：D.
本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案．
【详解】
根据题意，数据7，9，，8，10的平均数为9，
则，解得：，
则其方差.
故答案为：1．
本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值，属于基础题．
14．或
【解析】
用表示出的面积，求得等量关系，联立焦距的大小，以及，即可容易求得，则离心率得解.
【详解】
联立解得.
所以的面积，所以.
而由双曲线的焦距为知，，所以.
联立解得或
故双曲线的离心率为或.
故答案为：或.
本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题.
15．
【解析】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径.
【详解】
设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，
OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角，
，
因为，所以是等腰直角三角形，，
在中，由cs60º＝，得，由勾股定理，得：，
因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上，
设四面体外接球半径为，
在中，，
由勾股定理可得：，即，解得．
本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题．
16．
【解析】
直接由复数代数形式的乘法运算化简,结合已知条件即可求出实数的值.
【详解】
解：的实部与虚部相等,
所以,计算得出.
故答案为:
本题考查复数的乘法运算和复数的概念,属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值.
【详解】
（1）因为，由椭圆的定义得，，
点在椭圆上，代入椭圆方程，解得，
所以的方程为；
（2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为，
联立方程组，消去，整理得，
所以，，
直线的直线方程为，令，则，
同理，
所以：
，
代入整理得，
所以为定值.
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.
18．（1）（2）特征值为或．
【解析】
（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.
（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．
【详解】
解：（1）设矩阵由题意,
因为,
所以
,即
所以,
（2）矩阵的特征多项式,
令,解得或,
所以矩阵的特征值为1或．
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
19．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由折叠过程知与平面垂直，得，再取中点，可证与平面垂直，得，从而可得线面垂直，再得线线垂直；
（2）由已知得为中点，以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦．
【详解】
（1）易知与平面垂直，∴，
连接，取中点，连接，
由得，，
∴平面，平面，∴，
又，∴平面，∴；
（2）由，知是中点，
令，则，
由，，
∴，解得，故．
以为原点，所在直线为轴，在平面内过作的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
，，设平面的法向量为，
则，取，则．
又易知平面的一个法向量为，
．
∴二面角的余弦值为．
本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角．证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化．求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcsθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．
【详解】
解：（1）在ρ+ρcs2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cs2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，
∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（csα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
由△＝16sin2α﹣16cs2α＞0，得sinα＞，
t1+t2＝，由|PM|＝，
所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），
所以sinα＝．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
21．（1）见解析，12.5（2）①②20
【解析】
(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；
②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.
【详解】
解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
，，，
所以分布列为
期望为
（2）因为
所以，，
；
②，
设，
所以当递增，当递减
所以约惠值最大值时的值为20
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
22． (I)；(II)
【解析】
(I)化简得到，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答案.
【详解】
(I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
x
10
15
20
25
30
35
40
y
10000
11761
13010
13980
14771
15440
16020
2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99