北京市八中2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷（含答案）

这是一份北京市八中2025-2026学年第二学期八年级数学期中试卷（含答案），共19页。
一、选择题（每题2分，共16分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 5，12，13B. ，2，
C. 2，3，4D. 1，，
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
6. 如图，在中，，，为的中点，若，则点到的距离是（ ）
A. 6B. 8C. D. 3
7. 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图象，则莴笋成长的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知点，点，将直线沿水平方向向右平移4个单位，得到直线，若点，在直线上，则的值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
二、填空题（每题2分，共18分）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
10. 比较大小：_____4．
11. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件_____（写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）

12. 是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______．
13. 如图，矩形的边沿折痕折叠，使点落在边上的点处，已知，，则的长为________．
14. 已知，则代数式的值为________．
15. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点．若，，则的长是____．
16. 如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________．
17. 在平面直角坐标系中，直线上的两点的横坐标和纵坐标的对应值如下表：
下列结论：①方程的解为；②若，则．③若对于任意，总有，则；④过点作，垂足为，则的最大值为．其中正确的结论有___________．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（18题12分，19-20题每题6分，21-26题每题7分，共66分）
18. 计算：
（1）；
（2）．
19. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形（点在上，点在上）．
作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
所以四边形为所求作的菱形．
（1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明；
证明：，，
．
在中，，
即，
四边形为平行四边形 （填推理的依据），
，
四边形为菱形 （填推理的依据）．
20. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，，的中点，连接，，，得到四边形．
求证：四边形是平行四边形．
21. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，网格的中心标记为点按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点为其对角线交点：
（1）在图中画一个两边长分别为和的矩形；
（2）在图中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；
（3）在图中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的函数解析式；
（2）点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值．
23. 如图，菱形的对角线，交于点，于，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求矩形的周长．
24. 在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式．
（1）他选择通过描点法画函数的图象．
自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中，________；
根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象．

根据函数图象，直接写出不等式的解集为________；
（2）若关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个，则的取值范围为________；
25. 【活动一】
在生活中，我们经常可以看到用正方形瓷砖铺设的墙面和地面，如图1，在铺设时，都要求砖与砖之间严丝合缝，边与边相接，并且可以覆盖整个墙面或地面．从数学的角度看，这个过程就是用一些不重叠摆放的多边形通过边与边相接，把平面完全覆盖，通常这类问题叫作平面镶嵌（或用多边形镶嵌平面）问题．
下面让我们对一些多边形是否能够镶嵌平面进行探究：
【思考】
（1）小明认为，像贴瓷砖这个过程就是用一些边长相同的正方形进行平面镶嵌．他进一步思考：用一些边长相同的正三角形是否可以进行平面镶嵌呢，于是他剪裁了一些边长相同的正三角形纸板进行尝试，如图2所示，他发现，每个拼接点处各个角的和为________，这说明，只用正三角形可以进行平面镶嵌：
（2）如果只能用一种正多边形进行平面镶嵌，除了正方形和正三角形之外，小明还可以用________（填写一个即可）来实现平面镶嵌；
【综合】
（3）小明想要进一步探究用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，如图3所示，他发现用边长相等的正三角形和正六边形可以完成平面镶嵌．你认为，除了这两种正多边形的组合，下列组合中，也能用来平面镶嵌的组合有________（填写所有正确结论的序号）
①正方形和正六边形 ②正方形和正八边形 ③正五边形和正三角形 ④正五边形和正十边形
【活动二】
（4）新年新气象，正值马年，家家户户都希望在家中增添一些与“马”有关的装饰，数学老师发现家中的地板瓷砖是由多个边长为1的正方形瓷砖镶嵌而成，他在一个的瓷砖范围内，通过切割得到了如图4所示的小马图案．现在，他想用3块等腰直角三角形、1块直角梯形和1块平行四边形的彩色琉璃砖，重新镶嵌到小马图案的空缺部分，请你通过观察，在图4的小马图案范围内画出合适的镶嵌方案并标注对应图案的序号．
26. 如图，已知正方形，对角线、交于点，点为线段上一点，过作的垂线，交于，连接，交于点．
（1）在图1中完成补全图形；
（2）求证：；
（3）点、、分别为、、的中点，连接，求证：．
四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分）
27. 先观察下列不等式，再回答问题：
① ②
③ ④
（1）请按照上面各不等式反映的规律，直接写出用含（为自然数且）的式子表示的不等式：________；
（2）已知，直接写出的整数部分________．
（3）对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，直接写出的值为________．
28. 在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离．若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．
例如：点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．
特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为．
（1）图形为线段，
①若图形为线段，则________，________．
②点，，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时的值．
（2）已知，，，，直线：，图形为正方形，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，．若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，以及当取得最小值时的最小值．
参考答案
一、选择题（每题2分，共16分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．
二、填空题（每题2分，共18分）
9. 【答案】解：根据二次根式的意义，得，
解得．
故答案为：．
10. 【答案】3＝＝，4＝，
∵＞，
∴3＞4．
故答案为：＞．
11. 【答案】添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD
12. 【答案】解：由题意得，，
解得，
∴的取值范围是．
13. 【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可知：，
∴，，
已知，，
∴CD=DE+EC=5+4=9 ，
∴，
在中，由勾股定理得：FC=EF2−EC2=52−42=9=3 ，
设AD=AF=BC=x ，则BF=BC−FC=x−3 ，
在中，由勾股定理得：，
即92+(x−3)2=x2，
解得：，
即的长为．
14. 【答案】解：由题意得，，
当时，．
15. 【答案】解：如图，连接，，
，为中点，
，，
，
又是的中点，
，，
，
由勾股定理可得：
，
故答案为：3．
16. 【答案】 ①. ②.
【详解】解：四边形是菱形，，
，
，
∴∠ABC=∠D=60°，
菱形的高，
面积．
取的中点，连接，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
点在上，
．
四边形是菱形，
，，
是的中点，是的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，．
，，且是公共点，
，，三点共线，
点在线段上运动．
，都是定点，
是定点，
当时，取得最小值．
，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q，此时GH最小值=HN ，
∴，
∵，，
∴，
∴，则MP=12MB=14AB=4 ，且四边形BPNQ 是矩形，
∴，，
是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
．
17. 【答案】解：由表格以及函数解析式可得：当时，，所以方程的解为，故①正确；
由题意可得：，解得：，
∵，
∴，不一定大于零，
∴不一定成立，即②错误；
若对于任意，总有，即的图象始终在的图象上方，
∴这两条直线平行，
∴，
∴，解得：，
∴，即③正确；
∵，
∴两式相加可得：，
∴，，
∴，
令，解得：，
∴直线l过定点，
根据垂线段最短，的最大值为原点O到定点的距离，即
，
∴的最大值为．
三、解答题（18题12分，19-20题每题6分，21-26题每题7分，共66分）
18. 【答案】（1） （2）
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【小问1详解】
四边形为所求作的菱形．
【小问2详解】
，，
，
在中，．
即．
四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）．
，
四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．
20. 【答案】证明：分别是，，，的中点，
为的中位线，为的中位线．
，，，．
．
四边形是平行四边形，
．
．
四边形是平行四边形．
21. 【答案】【小问1详解】
解：如图，矩形即为所求；
【小问2详解】
解：如图，平行四边形即为所求；
【小问3详解】
解：如图，正方形即为所求．
，且
则正方形即为所求．
22. 【答案】（1） （2）或
【分析】（1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式；
（2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：过点，
，
，
，
设直线为，
直线经过原点，且与直线交于点，
，
直线为；
【小问2详解】
解：将代入，则，
，
，
点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线交于点，
令，解得；令，解得，
，，
，
，
，
或．
23. 【答案】（1）证明见解析 （2）14
【分析】（1）先由、，证得四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得，根据矩形判定定理，证得四边形是矩形；
（2）利用面积法，由，求得；再结合勾股定理，用完全平方公式求出，进而得矩形周长为．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：在菱形中，对角线，且，，边长，
∴是直角三角形，，
∵，，
∴
将，代入，
得
解得，
在中，，
∴，
∴，
∵、均为正数，
∴，
又∵，，
∴矩形的周长．
24. 【答案】（1）；图见解析；或 （2）
【小问1详解】
解：当时，，
；
描点，画出函数图象如下：
根据函数图象，当或时，，
不等式的解集为或；
【小问2详解】
解：关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个，
∴方程有2个解，方程也有2个解，
即方程和都有2个解，
由（1）中的函数图象可得，
1−b>−3−1−b>−3，
解得．
25. 【答案】（1） （2）正六边形（答案不唯一） （3）②④ （4）见解析
【小问1详解】
解：拼接点处各个角的和为；
【小问2详解】
解：除了正方形和正三角形之外，小明还可以用正六边形来实现平面镶嵌（答案不唯一），
∵正六边形的每个内角为，，
∴3个正六边形即可实现平面镶嵌；
【小问3详解】
解：①正六边形每个内角为，正方形每个内角为，
设需要个正六边形，个正方形，
则，
整理得，，此方程无正整数解，故①不符合题意；
②正八边形每个内角为，正方形每个内角为，
设需要个正八边形，个正方形，
则，
整理得，，
符合题意的正整数解只有，故需要个正八边形，1个正方形，故②符合题意；
③正五边形每个内角为，正三角形每个内角为，
设需要个正五边形，个正三角形，
则，
整理得，，此方程无正整数解，故③不符合题意；
④正五边形每个内角为，正十边形每个内角为
设需要个正五边形，个正十边形，
则，
符合题意的正整数解只有，故需要个正五边形，1个正十边形，故④符合题意；
【小问4详解】
解：如图，即为所求．
26. 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
解：补全图形如下图，
【小问2详解】
证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
；
【小问3详解】
证明：如下图：
∵点H是的中点，点N是的中点，
∴，，
∴
，
取的中点，连接，如下图：
在中，是中点，是中点，
∴是的中位线，
∴，且，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵M是中点，是中点，
∴
，
由（2）得，，
∴，
∴，
过点作，交的延长线于点，如下图：
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，且，
∴，
在中，
，
过点作，交的延长线于点，如下图：
∵四边形是正方形，
∴，即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
又∵，
∴
∵线段长度为正，
∴，
又∵，
∴．
四、附加题（27题4分，第28题6分，共10分）
27. 【答案】（1） （2）2 （3）88
【小问1详解】
解：第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
第4个式子：；
所以，第个式子为：
【小问2详解】
解：∵；
；
，
∴22−1+3−2+2−3