2026届广东省深圳外国语学校高三第六次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届广东省深圳外国语学校高三第六次模拟考试数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，设函数等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
2．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中，项的系数为（ ）
A．－23B．17C．20D．63
4．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（ ）.
A．9B．6C．D．
5．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列 中， ，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数（，）是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．C． D．
10．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ）
A．B．C．D．
12．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和为，，且满足，则数列的前10项的和为______.
14．在中，，．若，则 _________．
15．已知函数为上的奇函数，满足.则不等式的解集为________.
16．设第一象限内的点(x，y)满足约束条件,若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为40，则＋的最小值为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.
（1）求曲线G的方程;
（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
18．（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.
图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表
（1）求图中实数的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.
19．（12分）（江苏省徐州市高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系中，已知平行于轴的动直线交抛物线： 于点，点为的焦点.圆心不在轴上的圆与直线， ， 轴都相切，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线， 分别与轴相交于点， .当线段的长度最小时，求的值.
20．（12分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，．
（1）求证：平面ACD；
（2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值．
21．（12分）已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：
（1）证明：平面平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.
22．（10分）已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
构造函数，通过分析的单调性和对称性，求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，
是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以为奇函数，图像关于原点对称，所以图像关于对称.
不等式等价于，
等价于，注意到，
结合图像关于对称和单调递增可知.
所以不等式的解集是.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.
2、B
【解析】
利用等差数列性质，若，则 求出，再利用等差数列前项和公式得
【详解】
解：因为 ，由等差数列性质，若，则得，
．
为数列的前项和，则．
故选：．
【点睛】
本题考查等差数列性质与等差数列前项和.
(1)如果为等差数列，若，则 ．
(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.
3、B
【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数.
【详解】
的展开式的通项公式为.则
①出，则出，该项为：；
②出，则出，该项为：；
③出，则出，该项为：；
综上所述：合并后的项的系数为17.
故选：B
【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.
4、C
【解析】
设，，，由可得，利用定义将用表示即可.
【详解】
设，，，由及，
得，故，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.
5、B
【解析】
连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得；
【详解】
解：连接、，
，是半圆弧的两个三等分点， ，且，
所以四边形为棱形，
．
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
6、B
【解析】
先根据题意，对原式进行化简可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立转化为恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.
【详解】
由题，
即
由累加法可得：
即
对于任意的，不等式恒成立
即
令
可得且
即
可得或
故选B
【点睛】
本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求出通项公式和后面的转化函数，属于难题.
7、D
【解析】
根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.
【详解】
函数（，）是上的奇函数，
则，所以.
又的图象关于直线对称可得，，即，，
由函数的单调区间知，，
即，
综上，则，
.
故选：D
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.
8、C
【解析】
求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程
在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，解得，，故当时，，
当，，且，
故方程在上有两个不同的实数根，
故，
解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
9、B
【解析】
先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.
【详解】
设直线与圆相切于点，
因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，
又因为圆与直线的切点为，所以，
又，所以，
因此，
因此有，
所以，因此渐近线的方程为.
故选B
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
10、A
【解析】
根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.
【详解】
由于复数对应复平面上的点，，则，
，，因此，.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
11、D
【解析】
由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，
因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，
所以函数的最小正周期，则，
所以，
当时，，
所以是函数的一条对称轴，
故选：D
【点睛】
本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.
12、D
【解析】
由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解
【详解】
根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.

故选：D
【点睛】
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、1
【解析】
由得时，，两式作差，可求得数列的通项公式，进一步求出数列的和．
【详解】
解：数列的前项和为，，且满足，①
当时，，②
①-②得：，
整理得：（常数），
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以（首项不符合通项），
故，
所以：，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，数列的前项和的公式，属于基础题．
14、
【解析】
分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.
详解：根据题意，设，则，根据，
得，由勾股定理可得，
根据余弦定理可得，
化简整理得，即，解得，
所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.
15、
【解析】
构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为，利用函数的单调性即可得解.
【详解】
设，则，
设，则.
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，也是最小值，即，
，，，即，
所以，函数在上为增函数，
函数为上的奇函数，则，
，则不等式等价于，
又，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
16、
【解析】
不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，
目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，
而
当且仅当时取等号，
则的最小值为.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得，由此判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线的方程.
（2）将直线的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.
【详解】
（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|
所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在轴上）,
所以c,a=2,b,
所以曲线G的方程为,
（2）因为，故四边形为平行四边形.
当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，
故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,
此时可求得四边形OMDN的面积为.
当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,
代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|
点O到直线MN的距离d,
由,得xD,yD，
∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,
由题意四边形OMDN为平行四边形,
∴OMDN的面积为S,
由1+2k2=2m2得S,
故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
【点睛】
本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.
18、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；
（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为.，选2件产品，支付的费用的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）据题意，得
所以
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为.
随机变量的所有取值为240，300，360，420，480.
随机变量的分布列为
所以（元）
【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
19、 (1) ．(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）设根据题意得到，化简得到轨迹方程；（2）设， ，，，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.
解析：
（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，
设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，
所以圆的半径为，点 ，则直线的方程为，即，
所以，又，所以，即，
所以的方程为 ．
（2）设， ，，
由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，
由，所以，，
所以，，
所以．
令，，则，
由得，由得，
所以在区间单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值， 此时．
点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.
20、（1）见解析（2），最大值．
【解析】
（1）先证明，，故平面ADC．由，即得证；
（2）可证明平面ABC，结合条件表示出，利用均值不等式，即得解.
【详解】
（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴，．
∵平面ABC，平面ABC，∴．
∵AB是圆O的直径，∴，
且，平面ADC，
∴平面ADC．
∵，∴平面ADC．
（2）解∵平面ABC，，
∴平面ABC．
在中，，．
在中，∵，∴，
∴，
∴．
∵，
当且仅当，即时取等号，
∴当时，体积有最大值．
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积，考查了学生逻辑推理，空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21、（1）见解析（2）
【解析】
(1) 设的中点为,连接.由展开图可知,，.为的中点,则有,根据勾股定理可证得,
则平面,即可证得平面平面．
(2) 由线面成角的定义可知是直线与平面所成的角，
且,最大即为最短时,即是的中点
建立空间直角坐标系,求出与平面的法向量利用公式即可求得结果.
【详解】
（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．
由题意，得，，．
在中，，O为AC的中点，，
在中，，，，，．
，平面，平面ABC，
平面PAC，平面平面ABC．
（2）由（1）知，，，平面PAC，
是直线BM与平面PAC所成的角，
且，
当OM最短时，即M是PA的中点时，最大．
由平面ABC，，
，，
于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，
则，
，
设平面MBC的法向量为，直线MA与平面MBC所成角为，
则由得：.
令，得，，即.
则.
直线MA与平面MBC所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.
22、≤x≤
【解析】
由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2.
∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
240
300
360
420
480