2026届广州天河区广州中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

这是一份2026届广州天河区广州中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析，共15页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在直角中，，，，若，则，函数的大致图象为，已知符号函数sgnxf，已知命题，函数在的图象大致为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．23B．21C．35D．32
2．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{x﹣1≤x≤2}
3．设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点，使，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
4．在直角中，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
7．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
8．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ）
A．sgn[g（x）]＝sgn xB．sgn[g（x）]＝﹣sgnx
C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）]D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]
9．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
10．函数在的图象大致为( )
A．B．
C．D．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为( )
A．B．3C．2D．
12．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）.
14．已知向量，，则______.
15．的展开式中的系数为________________．
16．设函数，当时，记最大值为，则的最小值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，，，，是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.
（1）求线段的长.
（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.
19．（12分）已知椭圆的焦点在轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过椭圆右焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式恒成立，求的最小值.
20．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知函数．
（1）若不等式有解，求实数的取值范围；
（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．
22．（10分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求△ABC面积的最大值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.
【详解】
随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.
2、A
【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.
【详解】
∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．
故选：A．
【点睛】
此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素.
3、A
【解析】
由及双曲线定义得和（用表示），然后由余弦定理得出的齐次等式后可得离心率．
【详解】
由题意∵，∴由双曲线定义得，从而得，，
在中，由余弦定理得，化简得．
故选：A．
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用表示出到两焦点的距离，再由余弦定理得出的齐次式．
4、C
【解析】
在直角三角形ABC中，求得 ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．
【详解】
在直角中，，，，，
，
若，则
故选C.
【点睛】
本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
5、A
【解析】
利用特殊点的坐标代入，排除掉C，D；再由判断A选项正确.
【详解】
，排除掉C，D；
，
，，
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题，代入特殊点，采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法，属于中档题.
6、C
【解析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.
【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
7、D
【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到
再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象
，
故选：D
【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
8、A
【解析】
根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.
【详解】
根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，
当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1，
当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0，
当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1，
综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）；
故选：A．
【点睛】
此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.
9、B
【解析】
根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】
对命题：
可知，
所以R，
故命题为假命题
命题 ：
取，可知
所以R，
故命题为真命题
所以为真命题
故选：B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.
10、C
【解析】
先根据函数奇偶性排除B，再根据函数极值排除A；结合特殊值即可排除D，即可得解.
【详解】
函数，
则，所以为奇函数，排除B选项；
当时，，所以排除A选项；
当时，，排除D选项；
综上可知，C为正确选项，
故选：C.
【点睛】
本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.
11、D
【解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．
【详解】
结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故
对三角形运用余弦定理，得到，
而结合，可得，，代入上式子中，得到
，结合离心率满足，即可得出，故选D．
【点睛】
本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．
12、D
【解析】
由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.
【详解】
解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积，
以 为直径的半圆面积，则，即.
由 ，得 ，所以.
故选:D.
【点睛】
本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、5670
【解析】
根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数.
【详解】
二项展开式一共有项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为.
故答案为：5670
【点睛】
本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题.
14、
【解析】
求出，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得，.，.
，，
.
故答案为：．
【点睛】
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算．
15、
【解析】
在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.
【详解】
的展开式的通项为，令，
因此，的展开式中的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.
16、
【解析】
易知，设，，利用绝对值不等式的性质即可得解．
【详解】
，
设，，
令，
当时，，所以单调递减
令，
当时，，所以单调递增
所以当时，
，
，
则
则，
即
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）的中点，连接，，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；
（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案．
【详解】
（1）证明：取的中点，连接，，
，分别是，的中点，
，，
又，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）解：，，
又，故，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，
是的中点，是的三等分点，
，1，，，，，
，，，，0，，，2，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面所成角的计算，属于中档题．
18、（1）的长为4（2）
【解析】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，根据向量垂直关系计算得到答案.
（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.
【详解】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以.，因为，所以，
即，解得，所以的长为4.
（2）因为，所以，又，
故.
设为平面的法向量，则即
取，解得，
所以为平面的一个法向量.
显然，为平面的一个法向量，
则，
据图可知，二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
19、（1） （2）
【解析】
（1）由已知条件列出关于和的方程，并计算出和的值，jike 得到椭圆的方程.
（2）设出点和点坐标，运用点坐标计算出，分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，求解出的最小值.
【详解】
（1）由己知得：，解得，
所以，椭圆的方程
（2）设，．
当直线垂直于轴时，，且
此时，，
当直线不垂直于轴时，设直线
由，得．
，
.
要使恒成立，只需，即最小值为
【点睛】
本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.
20、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据平面，四边形是矩形，由为中点，且，利用平面几何知识，可得，又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可有平面，从而得证.
（2）分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，得到，，，，分别求得平和平面的法向量，代入二面角向量公式求解.
【详解】
（1）证明：∵平面，
∴四边形是矩形，
∵为中点，且，
∴，
∵，，，
∴.∴，
∵，∴与相似，
∴，∴，
∴，
∵，∴平面，
∴平面，
∵平面，∴，
∴平面，∴.
（2）如图，
分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，则，，
解得：，
同理，平面的法向量，
设二面角的大小为，
则.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查线线垂直、线面垂直的转化以及二面角的求法，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.
21、（1）（2）见解析
【解析】
(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.
【详解】
解：（1）设，
∴在上单调递减，在上单调递增．
故．
∵有解，∴．
即的取值范围为．
（2），当且仅当时等号成立．
∴，即．
∵
．
当且仅当，，时等号成立．
∴，即成立．
【点睛】
此题考查不等式的证明，注意定值乘变化的灵活应用，属于较易题目.
22、（1）y2＝6x（2）．
【解析】
（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；
（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.
【详解】
（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；
（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，
y0，kAB，
则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①
可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，
且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2 ②
代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0 ③，
由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，
所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，
|AB|
，
又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，
所以S△ABC|AB|h•
，
当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），
或A（，），B（，）时等号成立，
所以S△ABC的最大值为．
【点睛】
此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.